彭華勤， 朱 慶， 肖華峰

(1.廣西師范大學 數學與統計學院 廣西 桂林 541006； 2.廣州大學 數學與信息科學學院 廣東 廣州 510006)

具有時滯離散時間捕食-食餌模型的行波解

彭華勤1,2， 朱 慶2， 肖華峰2

(1.廣西師范大學 數學與統計學院 廣西 桂林 541006； 2.廣州大學 數學與信息科學學院 廣東 廣州 510006)

研究了一類抽象的離散時間時滯反應擴散系統，當非線性項滿足部分指數擬單調條件時行波解的存在性.利用交叉迭代方法和Schauder不動點定理，將抽象波方程行波解的存在性轉化為尋找一對合適的上下解,并將所得結論應用到具有時滯離散時間的捕食-食餌模型中.

捕食-食餌模型； 行波解； 時滯； 時間離散； 上下解

0 引言

在非均勻環境下，對于許多演化過程，個體的空間分布不能忽略，因此，建立模型的時候應當考慮時間變量和空間變量.由于種群數量的變化通常是離散的，因此對某些種群建立離散時間模型更為合理.一般來說競爭合作系統的動力學行為可以通過單調動力系統的理論來研究，而對于捕食-食餌型的種群模型，單調動力系統的方法將不再適用.物種的繁殖由于受到妊娠、環境以及成熟過程等各方面因素的影響，物種密度在時間上的滯后是客觀存在的.因此，具有時滯的Lotka-Volterra擴散系統受到學者們的關注[1-9].一般的兩種群時滯系統可以記為

考慮到空間因素的影響，文獻[5]運用單調迭代和上下解技巧討論離散時間反應擴散方程波解的存在性

un(x)-un-1(x)=dΔun(x)+f(un(x),un-τ(x)),n∈N,x∈R,

(2)

它可以看成是連續方程

(3)

在時間格上的離散化方程.

基于上述原因，本文應用非標準有限元差分法和歐拉方法，考慮一類抽象的離散時間時滯反應擴散系統

(4)

當非線性項滿足部分指數擬單調條件時行波解的存在性.

1 預備知識

定義1 系統(4)的行波解是一種特別形式的平移不變的解,它的具體表達形式為

un(x)=φ(x+cn)，vn(x)=ψ(x+cn)，

其中：φ,ψ∈C2(R,R);c>0是一個常數，稱為傳播速度.

將un(x)=φ(x+cn)，vn(x)=ψ(x+cn)代入到式(4),并且記φs(t)=φ(t+s)，ψs(t)=ψ(t+s)，以及將x+cn以t代替，可得

(5)

(6)其中(φ-,ψ-)和(φ+,ψ+)是式(5)的兩個平衡點.不失一般性，假設φ-=0,ψ-=0,φ+=k1>0,ψ+=k2>0，則式(6)變為

(7)

根據式(7),假設

(P1) 存在k=(k1,k2)，滿足ki>0，使得fi(0,0)=fi(k1,k2)=0，i=1,2.

(P2) 存在兩個正常數L1，L2，使得

為方便起見，記

C[0,M](R,R2)={(φ,ψ)∈C(R,R2):0≤φ(s)≤M1,0≤ψ(s)≤M2,s∈R}.

定義算子H= (H1,H2):C[0,M](R,R2)→C(R,R2)為:

H1(φ,ψ)(t)=f1(φt(-cτ1),ψt(-cτ2))+(β1-1)φ(t)+φ(t-c),

H2(φ,ψ)(t)=f2(φt(-cτ3),ψt(-cτ4))+(β2-1)ψ(t)+ψ(t-c).

根據H1和H2的形式，系統(5)可以改寫為

(8)

對任意(φ,ψ)∈C[0,M](R,R2)，定義F=(F1,F2):C[0,M](R,R2)→C(R,R2)為:

易知F=(F1,F2)有意義，并且對任意(φ,ψ)∈C[0,M](R,R2)，F1(φ,ψ)(t)，F2(φ,ψ)(t)，滿足

因此，如果F(φ,ψ)=(F1(φ,ψ),F2(φ,ψ))=(φ,ψ),(φ,ψ)是F的一個不動點，則系統(5)有一個解(φ,ψ)，如果這個解進一步滿足漸近邊界條件(7)，則它是式(4)的一個行波解.

2 系統(6)的行波解的存在性

系統(4)中當非線性項滿足部分指數擬單調條件(簡稱為(PQM*))時行波解的存在性.首先介紹部分指數擬單調條件的概念為:

(PQM*) 存在兩個正常數β1和β2,使得

f1(φ1(-cτ1),ψ1(-cτ2))-f1(φ2(-cτ1),ψ1(-cτ2))+(β1-1)[φ1(0)-ψ1(0)]≥0,

f1(φ1(-cτ1),ψ1(-cτ2))-f1(φ1(-cτ1),ψ2(-cτ2))≤0,

f2(φ1(-cτ3),ψ1(-cτ4))-f2(φ2(-cτ3),ψ2(-cτ4))+(β2-1)[ψ1(0)-ψ2(0)]≥0,

其中φ1,φ2,ψ1,ψ2∈C([-cτ,0],R)滿足

1) 0≤φ2(s)≤φ1(s)≤M1,0≤ψ2(s)≤ψ1(s)≤M2，s∈[-cτ,0].

2) eβ1s[φ1(s)-φ2(s)]，eβ2s[ψ1(s)-ψ2(s)]關于s∈[-cτ,0]是非降的.

引理1 假設(PQM*)成立，則

H1(φ2,ψ1)(t)≤H1(φ1,ψ1)(t),

H1(φ1,ψ1)(t)≤H1(φ1,ψ2)(t),

H2(φ2,ψ2)(t)≤H2(φ1,ψ1)(t),

其中:t∈R,φi,ψi∈C(R,R),i=1,2，滿足

0≤φ2(s)≤φ1(s)≤M1;

0≤ψ2(s)≤ψ1(s)≤M2，s∈R.

引理1的結論由(PQM*)的定義可以直接計算得到.

引理2 假設(PQM*)成立,則對任意(0,0)≤(φ,ψ)≤(M1,M2)，有

F1(φ2,ψ1)(t)≤F1(φ1,ψ1)(t)，

F1(φ1,ψ1)(t)≤F1(φ1,ψ2)(t)，

F2(φ2,ψ2)(t)≤F2(φ1,ψ1)(t)，

其中：t∈R，φi,ψi∈C(R,R)，i=1,2;0≤φ2(s)≤φ1(s)≤M1,0≤ψ2(s)≤ψ1(s)≤M2,s∈R.

定義輪廓集為

引理4 假如(P1)和(PQM*)成立，則FΓ?Γ.

引理3～5以及定理1的證明與文獻[6]中的證明類似, 在此省略.

3 應用

利用第2部分的結果來證明具有時滯的離散時間捕食-食餌系統

行波解的存在性，其中un(x),vn(x)分別表示兩種群在時刻n、位置x處的密度.

假設c>0，令

un(x)=φ(x+cn)=φ(t)，vn(x)=ψ(x+cn)=ψ(t)，t=x+cn，

則對應的波方程為

系統(10)滿足漸近邊界條件

(11)

定義f(φ,ψ)=(f1(φ,ψ),f2(φ,ψ))為

f1(φ,ψ)=r1φ(0)[1-a1φ(-cτ1)-b1ψ(-cτ2)],

f2(φ,ψ)=r2ψ(0)[1+b2φ(-cτ2)-a2ψ(-cτ4)],

易得f1,f2滿足假設(P1)和(P2)，現在證明f(φ,ψ)=(f1(φ,ψ),f2(φ,ψ))滿足(PQM*).

引理6 當τ1>0，τ4>0，且都充分小時，函數f(φ,ψ)滿足(PQM*).

為了應用定理1，構造適當的上下解.

定義Δ1c(λ)=d1λ2+e-λc+r1-1,Δ2c(λ)=d2λ2+e-λc+r2(1+b2/a1)-1,則可以得到引理7.

引理7 假設00，使得當c>c*時，Δ1c(λ)和Δ2c(λ)分別有兩個正實根λ1,λ2和λ3,λ4滿足λ1<λ2，λ3<λ4，進一步得到

令η∈(1,min{2,λ2/λ1,λ4/λ3,(λ1+λ3)/λ1,(λ1+λ3)/λ3})，對于充分大的q>0，定義兩個函數

l1(t)=eλ1t-qeηλ1t，l2(t)=eλ3t-qeηλ3t，

易知l1(t)，l2(t)均有一個全局最大值，分別記為c1,c2>0，則存在

使得eλ1t1-qeηλ1t1=c1,eλ3t3-qeηλ3t3=c2.對任意給定的λ>0,存在ε2>0，ε4>0,使得k1-ε2e-λt1=c1，k2-ε4e-λt3=c2. 由于a2>b1，進一步假設a1k1>b1k2成立，使得這個正平衡點對應于常微分系統是穩定的平衡點，則存在ε0>0，ε1>0，ε3>0，使得

a1ε1-b1ε4>ε0;a2ε3-b2ε1>ε0;a1ε2-b1ε3>ε0;a2ε4-b2ε2>ε0.

(12)

定義下面的連續函數:

以及

min{t2,t4}-cmax{1,τ1,τ2}≥max{t1,t3}.

當t2≤t≤t2+cτ1，得到

注意到k1+ε1e-λt2=eλ1t2，從而

由于τ1充分小，所以存在ε*(0<ε*<ε0/[a1(k1+ε1)])使得1-ε*ε0，得到

L1(0)≤r1(k1+ε1)[a1k1-a1(1-ε*)(k1+ε1)+b1ε4]<0，

當t≤t1，有

定理2 如果00，τ4>0，且都充分小時，系統(12)有連接平衡點(0,0)和(k1,k2)的行波解(φ(x+cn),ψ(x+cn))，且滿足

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(責任編輯：方惠敏)

Traveling Wave Solutions in Temporally Discrete Delayed Prey-predator Model

PENG Huaqin1,2， ZHU Qing2， XIAO Huafeng2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,GuangxiNormalUniversity,Guilin541006,China; 2.SchoolofMathematicsandInformationScience，GuangzhouUniversity，Guangzhou510006，China)

The existence of traveling wave solutions for general discrete time reaction diffusive system with delay when the nonlinear term satisfies the partial exponential quasi monotone condition was investigated.By using the cross iteration method and Schauder′s fixed point theorem，the existence of traveling wave solutions was reduced to search a pair of upper and lower solutions.Finally，a discrete time delay prey-predator type model with spatial diffusion was considered to illustrate the results.

prey-predator model； traveling wave solution； delay； temporally time； upper-lower solution

2016-09-05

國家自然科學基金項目(11371107，11301102)；廣州市屬高校科研項目(1201431215).

彭華勤(1984—)，男，江西撫州人，博士研究生，主要從事生物數學研究，E-mail：huaqinpeng@126.com.

O175.2

A

1671-6841(2017)02-0037-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016219