新型灰色關(guān)聯(lián)分析模型的改進(jìn)與拓展

楊文光， 吳云潔， 王建敏

(1.華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部 河北 三河 065201； 2.北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院 北京 100191； 3.中國科學(xué)院 空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心 北京 100094)

新型灰色關(guān)聯(lián)分析模型的改進(jìn)與拓展

楊文光1，2， 吳云潔2， 王建敏3

(1.華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部 河北 三河 065201； 2.北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院 北京 100191； 3.中國科學(xué)院 空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心 北京 100094)

為了解決灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度存在失準(zhǔn)的缺陷, 提出了基于面積的新型灰色關(guān)聯(lián)分析的改進(jìn)模型. 對于具有相同量綱的不同序列數(shù)據(jù), 首先利用分段二次Lagrange插值建立它們的逼近函數(shù), 進(jìn)而對逼近函數(shù)進(jìn)行始點零化操作, 然后分別計算以逼近函數(shù)曲線或其始點零化像與t=1,t=n所圍圖形面積, 最后得到相應(yīng)序列數(shù)據(jù)的灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度, 并研究了它們的性質(zhì). 在具體計算所圍圖形面積時,采用了微元法與梯形法. 算例計算結(jié)果表明, 本文所提出模型與方法是有效的, 客觀反映了序列數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性大小, 避免了計算失效的可能.

灰色關(guān)聯(lián)分析； 相似性； 接近性； 分段二次Lagrange插值； 梯形求積

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析理論以研究“小樣本，貧信息”的數(shù)據(jù)系列相關(guān)性大小為主要內(nèi)容，為不確定性系統(tǒng)的建模、評價與決策提供了有利工具. 傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)分析模型是依據(jù)比較序列與參考序列的曲線幾何相似程度進(jìn)行度量的. 事實上，關(guān)聯(lián)度大小不僅與曲線相似程度密切相關(guān)，也與曲線之間的接近程度緊密聯(lián)系. 目前，不同學(xué)者從幾何、積分、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、插值等不同角度定義了多種不同的改進(jìn)型灰色關(guān)聯(lián)分析模型[1-7]. 文獻(xiàn)[1]構(gòu)建了絕對灰色關(guān)聯(lián)度, 該模型滿足偶對稱性, 且計算相對簡便. 文獻(xiàn)[2]基于數(shù)據(jù)序列相似性與相近性視角構(gòu)建了新型灰色關(guān)聯(lián)分析模型，但該模型對于走勢不一致的兩組數(shù)據(jù)會出現(xiàn)灰色關(guān)聯(lián)度為1的情況. 文獻(xiàn)[3]指出關(guān)聯(lián)度取值隨分辨系數(shù)變化而變化，從而造成關(guān)聯(lián)度取值唯一性不滿足或關(guān)聯(lián)度不滿足對稱性等問題. 文獻(xiàn)[4]利用光滑性與逼近效果較好的三次樣條插值函數(shù)逼近序列數(shù)據(jù)改進(jìn)了灰色絕對關(guān)聯(lián)度, 提高了逼近精度.文獻(xiàn)[5]利用梯形求積法建立了序列數(shù)據(jù)折線面積基礎(chǔ)上的灰色預(yù)測模型. 文獻(xiàn)[6]采用Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的記憶性改進(jìn)灰色預(yù)測模型. 文獻(xiàn)[7]提出了基于改進(jìn)灰色關(guān)聯(lián)度模型的綜合一致性檢驗方法. 這些工作都促進(jìn)了灰色系統(tǒng)理論的發(fā)展.

灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度是建立在兩組序列數(shù)據(jù)所圍圖形面積基礎(chǔ)之上的[2, 8]，但當(dāng)兩組序列數(shù)據(jù)存在振蕩情況時表現(xiàn)的并不準(zhǔn)確，當(dāng)一組序列數(shù)據(jù)在另一組序列數(shù)據(jù)之上與之下的面積相等時，關(guān)聯(lián)度為1. 本文將利用分段二次Lagrange插值完成對序列數(shù)據(jù)的逼近，通過引入絕對值表示所圍面積的改進(jìn)型灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度模型.結(jié)合微元法與梯形法的計算，客觀地反映序列數(shù)據(jù)的相似性與接近性.

1 灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度的改進(jìn)

1.1 基于面積的灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度的定義與計算

當(dāng)使用分段線性Lagrange插值逼近原始序列數(shù)據(jù)時會出現(xiàn)光滑性較差, 且精度不高的問題, 而三次樣條插值又相對較復(fù)雜, 故為了簡化計算, 提高計算精度, 下面采用分段二次Lagrange插值.

定義3[9]對于如定義1所給的第i組序列數(shù)據(jù)Xi，任取相鄰節(jié)點k-1,k,k+1， 以[k-1,k+1]作為插值區(qū)間構(gòu)造分段二次Lagrange插值函數(shù)，

fik(t)=xi(k-1)lk-1(t)+xi(k)lk(t)+xi(k+1)lk+1(t)，

根據(jù)定義3整理出序列數(shù)據(jù)Xi,Xj的分段二次Lagrange插值函數(shù)的整體形式.

當(dāng)n≥3,且n=2g+1,g∈Z+時,

(1)

當(dāng)n≥4,且n=2g,g∈Z+時,

(2)

其中

fjk(t)=xj(k-1)lk-1(t)+xj(k)lk(t)+xj(k+1)lk+1(t)

為Xj在t∈[k-1,k+1]時的分段二次Lagrange插值函數(shù), 插值基函數(shù)lk-1(t),lk(t),lk+1(t)定義同上,k=2,4,6,…，n,且n≥3.

(3)

為序列數(shù)據(jù)Xi與Xj基于面積的灰色相似關(guān)聯(lián)度,稱

(4)

為序列數(shù)據(jù)Xi與Xj基于面積的灰色接近關(guān)聯(lián)度.

1) 微元法

(5)

(6)

其中Δt為采樣步長.

2) 梯形求積法(簡稱梯形法)

(7)

(8)

其中:Δt為采樣步長,m=(n-1)/Δt.

證明 設(shè)Xi與Xj是如定義1所給出的兩個不同序列數(shù)據(jù),fi(t)與fj(t)是對應(yīng)的分段二次Lagrange插值函數(shù).

代入(9)即得公式(7).同理當(dāng)fi(t)恒在fj(t)的一側(cè)時, 使用梯形求積公式可證明公式(8).

(10)

代入式(10)化簡即得公式(7). 同理當(dāng)fi(t)與fj(t)存在交點時, 使用梯形求積公式亦可證明公式(8).

1.2 基于面積的灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度的相關(guān)性質(zhì)

證明 1) 規(guī)范性.顯然Δsij≥0,ΔSij≥0， 故0<αij≤1,0<βij≤1，當(dāng)且僅當(dāng)Δsij=0時，αij=1，ΔSij=0時，βij=1.

2) 接近性.由1)可知，顯然成立.

(11)

(12)

2 算例分析

對于非1-時距序列可以采用相應(yīng)變換轉(zhuǎn)化為1-時距序列, 故假設(shè)下面討論的均是1-時距序列[2], 并且要求序列數(shù)據(jù)的長度是一致的, 而當(dāng)序列長度不一致時可以采用分層逐次均值填補(bǔ)空缺[2].

例1 設(shè)序列數(shù)據(jù)X1=(x1(1),x1(2),…,x1(7))=(0.91,0.97,0.90,0.93,0.91,0.93,0.95)，X2=(x2(1),x2(2),…,x2(7))=(0.60,0.68,0.61,0.62,0.63,0.64,0.65)，X3=(x3(1),x3(2),…,x3(7))=(0.82,0.86,0.90,0.89,0.88,0.87,0.86)，X1,X2,X3均是1-時距序列,n=7， 試求X2,X3與X1三者之間基于面積的灰色相似關(guān)聯(lián)度α12,α13,α23與灰色接近關(guān)聯(lián)度β12,β13,β23， 要求給出與文獻(xiàn)[2]方法、基于微元法的相似與接近關(guān)聯(lián)度、基于梯形求積法的相似與接近關(guān)聯(lián)度(簡稱梯形法)的對比結(jié)果.

解 1) 由于n=7，故首先按照公式(1)，計算X1,X2,X3的分段二次Lagrange插值曲線得f1(t),f2(t),f3(t)，見圖1.

3) 根據(jù)微元法與梯形法給定的公式分別計算Δsij,ΔSij.采用微元法由公式(5)計算Δsij，采樣步長Δt=0.01,由公式(6)計算ΔSij，得Δs12≈0.104 8，Δs13≈0.266 1，Δs23≈0.215 6，ΔS12≈2.061 6，ΔS13≈0.419 3，ΔS23≈1.642 3.

采用梯形求積法由公式(7)計算Δsij，由公式(8)計算ΔSij，得

Δs12≈0.104 9，Δs13≈0.266 1，Δs23≈0.215 6，ΔS12≈2.058 0，ΔS13≈0.418 2，ΔS23≈1.639 7.

4) 最后代入公式(3)和(4)計算出基于面積的灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度, 結(jié)合文獻(xiàn)[2]的方法給出對序列數(shù)據(jù)兩兩比較的3種結(jié)果, 見表1.

使用微元法得灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度為：

α12=0.905 1，α13=0.789 8，α23=0.822 7，

β12=0.326 6，β13=0.704 6，β23=0.378 5.

使用梯形求積法得灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度為α12=0.905 1，α13=0.789 9，α23=0.822 7，β12=0.327 0，β13=0.705 1，β23=0.378 8.

上述兩種方法的計算結(jié)果表明,X1,X2,X3中的X1,X2最相似,X2,X3的相似程度次之, 而X1,X3的相似

圖1 原數(shù)據(jù)與Lagrange插值曲線Fig.1 Original data and Lagrange interpolation curves

圖2 始點零化像與Lagrange插值曲線Fig.2 Initial point zero image and Lagrange interpolation curves

程度最低;X1,X3最接近,X2,X3的接近程度次之, 而X1,X2的接近程度最低.對于本算例, 三種方法給出的序列數(shù)據(jù)的相似程度和接近程度的排序是一致的.

例2 設(shè)序列數(shù)據(jù)

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(5))=(1,2,3,4,5)，

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(5))=(1,1,3,5,5)，

試給出X1,X2基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法與劉氏法的灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度.

解 本算例的計算與上例是一樣的, 采用上例相同的4步操作可得X1,X2基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法的結(jié)果，見表2. 顯然,微元法和梯形法的結(jié)果是合理的,而劉氏法的結(jié)果是不合理的,因為差異較大數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)度是不可能取1的. 原序列數(shù)據(jù)與分段二次Lagrange插值曲線見圖3.

表1 比較結(jié)果

表2 比較結(jié)果

圖3 原數(shù)據(jù)與分段二次Lagrange插值曲線Fig.3 Original data and piecewise quadratic Lagrange interpolation curves

3 結(jié)論

建立不同序列數(shù)據(jù)的分段二次Lagrange插值, 盡可能以一種簡單的方式逼近序列數(shù)據(jù),基于序列數(shù)據(jù)被逼近曲線與t=1,t=n所圍的圖形面積，構(gòu)建了微元法與梯形法兩種計算灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度的改進(jìn)算法, 使得灰色關(guān)聯(lián)度的計算更能反映數(shù)據(jù)間的幾何位置關(guān)系. 改進(jìn)模型克服了原有灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度不能客觀反映振蕩序列相似性與接近性的弊端, 是對原有模型的有效拓展. 通過算例證明了本文所提出的基于面積的兩種方法是有效的.當(dāng)數(shù)據(jù)較多, 信息包含較多時, 基于分段二次Lagrange插值建立的逼近曲線將具有較高的逼近精度, 隨之建立的灰色相似關(guān)聯(lián)度與接近關(guān)聯(lián)度模型也將具有較高的評估精度.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Improvement and Development of the New Model of Grey Correlation Analysis

YANG Wenguang1,2， WU Yunjie2， WANG Jianmin3

(1.DepartmentofBasic,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Sanhe065201,China; 2.SchoolofAutomationScienceandElectricalEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China; 3.TechnologyandEngineeringCenterforSpaceUtilization,ChineseAcademyofSciences,Beijing100094,China)

In order to solve the incorrectness defects of the similitude degree of grey incidence and the close degree of grey incidence, the improvement model of grey relational analysis model was proposed based on the area. For different sequence data with the same dimension, the approximation function was set up by using the piecewise quadratic Lagrange interpolation, and the approximation function was operated by zero starting point operator. Then the area was calculated betweent=1,t=nand the approximation function curve or the image of zero starting point of them. Finally, the similitude degree of grey incidence and the close degree of grey incidence were obtained, and their properties were studied. In the concrete calculation around the figure area infinitesimal method could trapezoidal method could be used. The calculation results showed that, the proposed model and method were effective, which objectively reflected the correlation between the sizes of sequence data and avoided computing the possibility of failure.

grey relational analysis； similarity； proximity； piecewise quadratic Lagrange interpolation； trapezoidal quadrature

2016-08-26

國家自然科學(xué)基金項目(61472137，91216304)；華北科技學(xué)院重點學(xué)科項目(HKXJZD201402)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費項目(3142014127).

楊文光(1981—)，男，河北保定人，副教授，主要從事智能信息處理研究，E-mail:yangwenguang@buaa.edu.cn.

C931

A

1671-6841(2017)02-0024-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016212