定時截尾缺失數(shù)據(jù)樣本下Lomax分布總體形狀參數(shù)的估計與檢驗

龍 兵， 朱全新， 習長新

(1.荊楚理工學院 數(shù)理學院 湖北 荊門 448000; 2.南京師范大學 數(shù)學科學學院 江蘇 南京 210023)

定時截尾缺失數(shù)據(jù)樣本下Lomax分布總體形狀參數(shù)的估計與檢驗

龍 兵1， 朱全新2， 習長新1

(1.荊楚理工學院 數(shù)理學院 湖北 荊門 448000; 2.南京師范大學 數(shù)學科學學院 江蘇 南京 210023)

在定時截尾缺失數(shù)據(jù)樣本下研究了Lomax分布形狀參數(shù)的估計和假設(shè)檢驗.在尺度參數(shù)已知的條件下給出了形狀參數(shù)的極大似然估計，證明了估計量的相合性和漸近正態(tài)性，并給出了形狀參數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗，最后通過蒙特卡洛隨機模擬說明了估計的優(yōu)良性.

Lomax分布； 定時截尾； 缺失數(shù)據(jù)； 極大似然估計

0 引言

Lomax分布在壽命試驗數(shù)據(jù)處理中起著重要的作用，很多統(tǒng)計學者對此分布進行了深入的探討.文獻[1]研究了Lomax分布參數(shù)極大似然估計的存在性和估計量的收斂性.文獻[2]在完全樣本下研究了兩個參數(shù)及分位數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗.文獻[3]研究了基于缺失數(shù)據(jù)樣本下Lomax分布尺度參數(shù)的估計，并說明了確定最優(yōu)置信區(qū)間的方法.文獻[4-8]在不同損失函數(shù)下，當尺度參數(shù)已知時，討論了形狀參數(shù)的貝葉斯估計問題.在利用統(tǒng)計方法處理試驗數(shù)據(jù)時，如何根據(jù)缺失數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計分析中的一個重要問題.文獻[9-12]討論了多種分布在缺失數(shù)據(jù)樣本下的參數(shù)估計問題，而對Lomax分布在定時截尾數(shù)據(jù)缺失樣本下的參數(shù)估計還沒有人研究.本文假設(shè)尺度參數(shù)已知，在定時截尾數(shù)據(jù)缺失樣本下給出了形狀參數(shù)的極大似然估計，證明了估計量的相合性和漸近正態(tài)性，并給出了形狀參數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗.

1 極大似然估計及其漸近性質(zhì)

設(shè)樣本觀測數(shù)據(jù)來自Lomax分布總體，其密度函數(shù)為

(1)

其中:θ為形狀參數(shù)；λ為尺度參數(shù)；在本文中假設(shè)尺度參數(shù)已知.

現(xiàn)對上述Lomax分布總體進行n次獨立觀測，并到T0時刻停止，每個樣本觀測值以概率1-p缺失,以概率p被觀測.用(Zi,δi,αi),i=1,2,…，n表示總體觀測值，其中：Zi=min(T0,Xi),Xi表示第i個樣品的壽命；αi=I{Xi≤T0}-I{Xi>T0}，即觀測到具體的失效時間αi=1，否則αi=-1，并且第i個樣品觀測數(shù)據(jù)缺失時記δi=0，否則δi=1.

(2)

由θ的極大似然估計可得到如下定理.

在堅持家庭經(jīng)營為主的條件下，每家每戶擁有1.33 hm2左右的雷竹林，通過輪流覆蓋栽培，能取得較好的經(jīng)濟效益，從而可以穩(wěn)定竹農(nóng)的種竹積極性。從竹林可持續(xù)經(jīng)營角度來看，3～4年形成一個覆蓋輪回較為合理，竹林經(jīng)營面積1.33 hm2是接近合理輪回的面積。為使農(nóng)戶家庭勞動力與竹林達到最優(yōu)配置狀態(tài)，進而使家庭收入最大化，農(nóng)戶可選擇轉(zhuǎn)入竹林擴大經(jīng)營規(guī)模，或轉(zhuǎn)出剩余勞動力從事其他行業(yè)的生產(chǎn)。

即

2 區(qū)間估計及假設(shè)檢驗

在實際中，對參數(shù)真值范圍的研究，可以歸結(jié)到參數(shù)的置信區(qū)間問題.對于本文中討論的問題可得到如下定理.

其中uγ為標準正態(tài)分布的γ下分位數(shù).

因為xp是θ的單調(diào)遞減函數(shù)，因此當λ已知時，p分位數(shù)xp的置信水平為1-γ的近似置信區(qū)間為

3) 對于假設(shè)檢驗問題H0:θ<θ0?H1:θ≥θ0.同理可得，對于給定的顯著性水平γ(0<γ<1)，檢驗的拒絕域為

根據(jù)定理2可以得到兩個獨立Lomax分布總體形狀參數(shù)之差的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗問題.

3 隨機模擬

當λ分別取1.2和2時，在形狀參數(shù)θ取不同真值的情況下，通過隨機模擬的方法，產(chǎn)生一個服從Lomax分布(1)的樣本，且樣本容量n=100.取缺失概率1-P=0.1，置信水平1-γ=0.95，對于給定截尾時間T0，利用上述樣本可以得到參數(shù)θ的估計，以上過程重復1 000次，可以得到參數(shù)估計的均值、均方誤差、置信區(qū)間的上下限均值及覆蓋率，模擬結(jié)果見表1.對形狀參數(shù)的估計都很接近參數(shù)真值，并且均方誤差較小.θ的真值介于下限均值與上限均值之間，覆蓋率很接近近似置信水平0.95.

表1 參數(shù)估計的均值、均方誤差(MSE)、置信區(qū)間的上下限均值及覆蓋率

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[12]趙志文，賴民，宋立新，等.具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個對數(shù)正態(tài)分布總體參數(shù)的估計與檢驗[J].統(tǒng)計與決策，2009(20)：7-9.

(責任編輯：方惠敏)

Shape Parameter Estimation and Hypothesis Testing of Lomax Population under Type I Censoring Sample with Missing Data

LONG Bing1， ZHU Quanxin2， XI Changxin1

(1.SchoolofMathematicsandPhysics,JingchuUniversityofTechnology,Jingmen448000,China； 2.SchoolofMathematicalSciences,NanjingNormalUniversity,Nanjing210023,China)

The shape parameters estimation and hypothesis test were studied on Lomax distribution under type I censoring sample with missing data. Maximum likelihood estimation of the shape parameter was discussed on condition that the scale parameter had been known, and the consistency and asymptotic normality of the estimators were proved. Moreover, the confidence interval and hypothesis test of shape parameters were given. Finally, Monte Carlo simulation was used to illustrate the excellent performance of the estimator.

Lomax distribution; type I censored sample; missing data; maximum likelihood estimation

2016-08-27

國家自然科學基金項目(61374080)；湖北省教育廳科學研究項目(B2016264).

龍兵(1973—)，男，湖北荊門人，副教授，主要從事數(shù)理統(tǒng)計的研究,E-mail:qh-longbing@163.com.

O212.7

A

1671-6841(2017)02-0019-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016213