不確定條件下的均衡市場

鄭穎春， 楊云鋒

(西安科技大學 理學院 陜西 西安710054)

不確定條件下的均衡市場

鄭穎春， 楊云鋒

(西安科技大學 理學院 陜西 西安710054)

建立了跳過程為非爆炸性計數過程的跳擴散模型，討論了完備市場下的財富優化與市場均衡.利用隨機分析的方法，構建了唯一的等價鞅測度，證明了存在唯一的優化投資組合及最優消費過程，給出了最優財富過程、最優消費過程和優化投資組合.給出了均衡市場的特性，證明了均衡市場的存在性和唯一性.

跳擴散過程； 均衡市場； 完備市場； 消費過程； 財富優化

0 引言

許多學者對類似的優化問題進行了研究.文獻[2]討論了在完備市場的資產連續.文獻[3]討論了資產服從poisson跳擴散時的財富最大化問題.文獻[4-8]討論了市場連續或跳擴散時的風險最小化問題.文獻[9-12]討論了風險資產的方差滿足Heston模型下的優化問題，并將跳過程進行了推廣.本文研究在完備市場中，股票支付連續紅利的條件下，跳過程為計數過程的跳擴散模型時的財富優化問題[13]，討論所建金融市場下的均衡問題.

1 金融市場

設市場m=(r(t),ρi(t),μi(t),σi(t),φi(t),Si(t),i=1,2)是標準且完備的，無風險資產B(t)和風險資產Si(t)滿足微分方程(Ft,0≤t≤T)，{W(t),0≤t≤T}，且

dSi(t)=Si(t-)((μi(t)-ρi(t))dt+σi(t)dW(t)+φi(t)dM(t)，i=1,2，

假設 函數λ(t)，r(t)，μi(t)，σi(t)，φi(t)，ρi(t)都是可測、有界的，且滿足：

1)λ(t)>0，r(t)≥0，σi(t)>0，ρi(t)≥0，φi(t)>-1，φi(t)≠0(i=1,2)；

3) 存在c2∈(0,+∞)，使得

由假設知，存在θ1(t),θ2(t)滿足μi(t)-λ(t)φi(t)-r(t)-σi(t)θ1(t)+λ(t)φi(t)θ2(t)=0,i=1,2.得到命題1和命題2.

(2)

2 主要結論

(3)

(4)

故

(5)

(6)

由假設條件知方程組(6)有唯一解πk=(πk1,πk2),(ck,πk)∈Ak，使得

定理2 標準的完備的市場m是均衡的充分必要條件是

(7)

(8)

此時，投資者k的最優消費過程可表示為

(9)

(10)

(11)

則由市場均衡的條件，可得

(12)

(13)

(15)

定理4 優化問題

(16)

證明 依據效用函數的定義, 可得

因此(9)式是優化問題(16)的解,且有

(17)

定理5 標準的完備的市場m=(r(t),ρi(t),μi(t),σi(t),φi(t),Si(t),i=1,2)是均衡的充分必要條件是

(18)

(19)

(20)

比較式(20)和(21)可以得到式(18)和(19).

3 結論

[1] MARKOWITZ H. Portfolio selection[J]. The fournal of finance， 1952,7(1):77-91.

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(責任編輯：方惠敏)

Equilibrium Market under Uncertainty

ZHENG Yingchun, YANG Yunfeng

(SchoolofScience,Xi′anUniversityofScience&Technology,Xi′an710054,China)

The problem of wealth optimization and equilibrium under complete financial markets was considered based on the jump-diffusion model with nonexplosive counting process. Resorting to stochastic analysis method, the uniqueness of the equivalent martingale measure and the optimal investment portfolio and consumption process was proved. Moreover, the optimal wealth process, the optimal consumption and portfolio process were also supplied. Finally, the existence and uniqueness of equilibrium in the financial market was provided once the characterization of an equilibrium market was given.

jump-diffusion process; equilibrium market; complete financial market； consumption process； wealth optimization

2016-08-25

國家自然科學基金項目(71473194)；陜西省教育廳科學研究計劃項目(16JK1500)；陜西省科技新星計劃項目(2013XJXX-40).

鄭穎春(1979—)，女，陜西藍田人，講師，主要從事最優化理論研究，E-mail:zhychun1979@163.com；通訊作者：楊云鋒(1978—)，男，陜西永壽人，副教授，主要從事金融數學、時間序列研究，E-mail:yangyunfeng_1978@126.com.

O211.6

A

1671-6841(2017)02-0014-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016211