楊 帥， 張淑琴

(1.中國礦業大學(北京) 力學與建筑工程學院 北京 100083； 2.中國礦業大學(北京) 理學院 北京 100083)

Caputo型分數階微分方程邊值問題解的存在唯一性

楊 帥1， 張淑琴2

(1.中國礦業大學(北京) 力學與建筑工程學院 北京 100083； 2.中國礦業大學(北京) 理學院 北京 100083)

主要探討一類Caputo型分數階微分方程邊值問題解的存在唯一性. 通過將邊值問題轉化為等價的Fredholm積分方程，在巴拿赫空間上運用不動點定理，證明了積分方程解的存在性和唯一性.

Caputo型分數階微分方程； 邊值問題； Fredholm積分方程； 不動點

0 引言

分數階微分方程已經廣泛應用于分數物理學、分子動力學、自動控制、電化學等各個科學研究領域[1-3].關于分數階微分方程的邊值問題也一直是分數階微積分理論的一個重要研究課題，其在模擬工程、物理和生命科學等應用科學領域的許多現象中具有很大的優勢，如非線性擴散、氣體的燃燒和熱交換、布朗運動等問題[4-5]. 此外，諸多學者都獨立地探討了各類分數階微分方程初值問題[6-9].

本文主要討論一類Caputo型分數階微分方程邊值問題：

(1)

1 預備知識

首先，我們來介紹幾個基本概念和一些Caputo分數階導數的性質以及相關引理.

定義1[1]設Ω=[a,b]是R中的有限區間，?α∈R+，則連續函數f(x)的α階Riemann-Liouville分數階積分定義為

定義2[1]設Ω=[a,b]是R中的有限區間，?α≥0，且n=[α]+1，則α階Riemann-Liouville分數階導數定義為

當α?N時，n=[α]+1；當α∈N時，n=α.

定義3[1]設Ω=[a,b]是R中的有限區間，?α∈R+，則連續函數f(x)的α階Caputo分數階導數定義為

當α?N時，n=[α]+1；當α∈N時，n=α.

2 主要結果

(2)

的解，即式(1)與(2)等價.其中λ1，λ2由線性方程

決定.

證明 首先證明必要性.由定義2和3可知

因為1<α<2，n=[α]+1=2，于是有

由此可知y∈C[a,b]是Fredholm積分方程(2)的解.

于是可以得到

因此，y∈C[a,b]是Caputo型分數階微分方程邊值問題(1)的解.

定理2 在定理1的假設條件下，若f:[a,b]×R→R一致有界，則Caputo型分數階微分方程邊值問題(1)至少有一個解y∈C[a,b].

令U={y∈C[a,b]:‖y‖≤R}，其中:

顯然U是C[a,b]中的有界閉凸子集.

第一步：算子F是U→U的.

又由算子F的定義以及f的連續性知Fy∈C[a,b]，則F:U→U.

第二步：算子F是連續的. 事實上，設{yn}∈U，且存在y∈U,使得yn→y(n→∞)，則對任意的x∈[a,b]，有

因為yn→y(n→∞)，所以由f的連續性知‖f(t,yn(t))-f(t,y(t))‖→0(n→∞)，故由‖Fyn(x)-Fy(x)‖→0(n→∞)，由此說明算子F是連續的.

第三步：F(U)是一致有界的. 由第一步的證明以及U的定義，顯然F(U)是一致有界的.

第四步：F(U)是等度連續的.任意的x1,x2∈[a,b]，不妨設x1

由Ascoli-Arzela定理知F(U)是相對緊集，因此F:U→U全連續.根據Schauder不動點定理知F在U中至少有一個不動點.

綜上，我們就證明了Caputo型分數階微分方程邊值問題(1)至少有一個解y∈C[a,b].

則Caputo型分數階微分方程邊值問題(1)有唯一的解y∈C[a,b].

證明 在C[a,b]上定義算子F:C[a,b]→C[a,b],

則在假設條件下算子F成為壓縮算子，根據Banach不動點定理，Caputo型分數階微分方程邊值問題(1)有唯一的解y∈C[a,b].

注：以上討論了1<α<2時，Caputo型分數階微分方程邊值問題(1)的解的存在唯一性問題，事實上，當n-1<α

3 例子

我們考慮如下Caputo型分數階微分方程邊值問題：

通過簡單的計算,我們可以得到

[1] KILBAS A A, SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.

[2] KENNETH S M, BERTRAM R. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations[M].New York: Wiley, 1993.

[3] RAY S S.Fractional calculus with applications for nuclear reactor dynamics[M].Boca Raton：CRC Press,2015.

[4] SABATIER J，SABATIER J， ALLGEMEIN H. Advances in fractional calculus[M]. Beijing:Beijing World Publishing Corporation，2014.

[5] PODLUBNY I. Fractional differential equations[M].London: Academic Press, 1999.

[6] ZHOU Y. Basic theory of fractional differential equations[M]. London：World Scientific, 2014.

[7] JOHNNY H, RODICA L. Boundary value problems for systems of differential,difference and fractional equations[M]. New York：Elsevier,2016.

[8] 劉東利，楊軍，崔更新. 高階分數階微分方程邊值問題正解的存在性[J]. 鄭州大學學報(理學版)，2014，46(1):16-20.

[9] 梁秋燕. Banach空間分數階微分方程邊值問題解的存在性[J]. 鄭州大學學報(理學版)，2013,45(3):37-41.

(責任編輯：王海科)

Existence and Uniqueness of Solutions of Boundary Value Problem for a Caputo-type Fractional Differential Equation

YANG Shuai1， ZHANG Shuqin2

(1.SchoolofMechanics&CivilEngineering，ChinaUniversityofMining&Technology,Beijing100083,China; 2.CollegeofScience,ChinaUniversityofMining&Technology,Beijing100083,China)

The existence and uniquness of solutions of boundary value problem for a Caputo-type fractional differential equation were investigated. By transforming the boundary value problem into an equivalent Fredholm integral equation, and employing fixed point theorem in a Banach space, the existence and uniqueness of the solutions of the integral equation was proved.

Caputo-type fractional differential equation; boundary value problem; Fredholm integral equation; fixed point

2016-10-21

國家自然科學基金項目(11371364).

楊帥(1990—)，男，陜西榆林人，博士，主要從事應用數學與力學研究,Email：haotianwuji2@sina.com.

O175.14

A

1671-6841(2017)02-0001-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016287