明道，優術

【摘要】從理解教材知識編排順序、理解學生認知規律、理解命題技術及變式教學的角度對數學及數學教學進行研究，指明中考數學復習應明研究數學之道，明數學教學之道，優數學教學之術。

【關鍵詞】理解教材 理解學生 理解命題技術 變式教學

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）06-0255-02

中考數學復習應做到“明道，優術”。明道，即把握研究數學的規律，把握數學教學的規律。優術，即優化數學教學的方法。

一、理解教材，明研究數學之道

教材是中學教師研究數學的素材。從教材對教學知識的編排順序中，能夠看出研究數學的方法。中考數學復習過程中，教師通過引導學生理解教材，把握研究數學的規律，對學生的問題解決能力的提升大有裨益。

以初中平面幾何中三角形的教材編排為例，教材從線段、射線、直線、余角、補角、對頂角、平行、垂直講起，為后續研究三角形作鋪墊。構成三角形的要素有：邊、角、三角形內部、三角形外部。兩點之間線段最短公理是研究三角形三邊關系的理論基礎。在研究三角形的內角和為π時，添設平行線，利用平行線的性質是證明該問題的關鍵。理解三角形內角和為π后，作一般化思考n邊形的內角和。將n邊形割成（n-2）個三角形，得到其內角和為（n-2）π，該教學過程體現了化歸與轉化思想。三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。觀察可知：一個三角形中最多有一個鈍角，其證明方法為反證法。由對內角的研究，自然想到其外角，三角形的每一個外角都與其相應的內角互為補角。將內角和看成整體，則外角和為nπ-（n-2）π=2π，運算過程體現整體思想。在邊、角研究之后，任意取其中三個要素（AAA，SSA除外）便能確定一個三角形，可以從“SSS、SAS、ASA、AAS”角度判定。“SSA”（邊邊角）組合在角為直角或鈍角時成立，角為直角時，判定定理描述為“HL”；角為鈍角時，作銳角所對邊上的高，通過AAS證明小直角三角形全等，進而得高相等，再由HL證明大的直角三角形全等是證明鈍角三角形“SSA”成立的關鍵。確定了三角形后，考慮三角形的內部因素：垂直平分線、內角平分線、高線、中線。利用線段的軸對稱性可證垂直平分線的性質，由HL可得垂直平分線的判定定理。類似地，利用角的對稱性可證角平分線的性質，由HL可得角平分線的判定定理。由此，學生就能理解在此之前學習“軸對稱性質”以及運用邊、角要素判定三角形全等的必要性。理解三角形垂直平分線、內角平分線的性質與判定定理后，可證三角形三條垂直平分線交于一點、三條內角平分線交于一點，分別為三角形外接圓圓心（外心）和內切圓圓心（內心），為后續圓的學習作鋪墊。

研究一般三角形的性質及判定后，考慮三角形在特殊情形下的性質及判定，如等腰三角形、直角三角形的性質及判定。在研究等腰三角形的性質后，便可將邊、角聯系起來，可證一般三角形的性質“大邊對大角，大角對大邊”。直角三角形的性質及判定，從“角”看，垂直、余角的概念及三角形內角和定理可用于研究直角三角形角的關系；從“邊”看，主要研究勾股定理及其逆定理。其中勾股定理的證明，歐幾里得證法滲透轉化思想、加菲爾德證法蘊含“算兩次”（富比尼原理）。勾股定理逆定理的證明可通過三角形全等、勾股定理來證明。勾股定理可以看作余弦定理的特例，為后續研究余弦定理，證明海倫公式埋下伏筆。

二、理解學生，明數學教學之道

學生喜歡趣味教學。在勾股定理證明時，除歐幾里得證法、加菲爾德證法外，還有其他證法，其中“劉徽割補術”能夠培養學生對我國數學史的興趣。

學生需要自主探究。在學完等腰三角形、直角三角形的性質及判定后，后續四邊形性質及判定的學習可借助三角形的有關性質、判定定理進行探究；可讓學生自主學習、探究、討論，教師適當引導、點撥即可。

三、理解命題，優數學教學之術

教材是中考試題的發源地。大部分中考試題源自教材例題、習題的改編。文《例談試題打磨的九種方法》[1]論述了試題改編、打磨的技術，可用于優化數學教學。譬如：教材例題對“三角形三條垂直平分線交于一點、三條內角平分線交于一點”給與了證明。中考復習時，教師可將命題推廣到三角形內部類似要素中，設置變式題組。如：（1）求證：三角形三條高線交于一點；可過三角形三個頂點作對邊的平行線，并連接交點，在三角形外部組成一個大三角形，則三角形的高線為其外部大三角形的垂直平分線，而“三角形三條垂直平分線交于一點”教材中已給出證明，該法滲透化歸與轉化思想。在學生理解其數學思想、解題思路的基礎上，還可由兩個垂直想到四點共圓，連接兩條高與相應底邊的垂足進而求證，亦可通過塞瓦定理求證，拓寬學生的思維角度。（2）求證：三角形三條中線交于一點；可通過作一組平行線，利用三角形相似和中位線的判定與性質定理證明另一組直線平行，判定平行四邊形，再利用其對角線互相平分的性質得中點，證得三角形三條中線交于一點。還可通過面積法證明，鍛煉學生思維品質。若問題（1）、（2）兩題用來給高中生鍛煉思維，均可通過坐標法、向量法求解。若問題（2）用來給大學數學專業學生練習，還可通過德薩格定理逆定理求解，由中位線的性質知：兩個三點形對應邊分別平行，即每一組對應邊的交點均為無窮遠點，從而均落在無窮遠直線上，由德薩格定理逆定理得：對應頂點的連線交于一點，即三角形三條中線交于一點。

如此，理解命題，學會一題多變地去研究問題、一題多解地去思考問題、一法多用地去歸結問題，數學教學必將事半功倍。

參考文獻：

[1]劉蔣巍. 例談試題打磨的九種方法[J]. 文理導航（下旬），2016，No.252（12）：98.