生活中的優選策略

宋揚

[摘 要] 生活中處處有數學，優化、優選問題也時常可見. 本文主要通過實例，揭示了解決優選問題的策略和各種具體方法，顯示出理論和實踐相結合所產生的神奇魅力.

[關鍵詞] 數學活動課；優選；最低費用；最大利潤；最佳方案；核心素養

課題生活中的優選策略

事前準備

1. 開展家庭用電情況的調查. 調查內容：本市“峰電”價、“谷電”價、不使用“峰谷電”的電價；家中上個月（或前兩個月）的電費支出，有否使用“峰谷電”？以及各自的用電度數.

2. 了解應聘旅游團“團長”的條件.

3. 初步學習營銷的常識和基本概念.

活動內容和實施過程

1. 是否使用“峰谷電”？居民怎樣選擇，才能得到實惠？

（1）公布本市供電公司關于使用“峰谷電”的信息：

為了高效使用電力資源，既有利國家，又惠及百姓，從2012年1月起，居民“峰谷電”試行：每天8 ∶ 00～21 ∶ 00用電每度（千瓦時）0.56元（峰時電價），21 ∶ 00～次日8 ∶ 00每度0.36元（谷時電價），而目前不使用“峰谷電”的居民用電每度0.53元.

請各位同學看一看，所調查（或了解）的情況與本市供電公司的規定是否相同？

（2）小亮家使用“峰谷電”后，某月實際支付電費84元，已知“峰電”時的用量占用電總量的60%，請你幫助計算一下小亮家當月使用了“峰電”和“谷電”各多少度，比不使用“峰谷電”少支出多少錢.

（3）請大家計算一下：當“峰電”用電量不超過當月用電總量的百分之幾時，使用“峰谷電”劃算？

（4）家庭已使用“峰谷電”的同學，各人計算一下，自家上個月（或前兩個月）“峰電”用量占用電總量的比值（百分數），并看看是否合算；家庭尚未使用“峰谷電”的同學，根據家里日常用電的實際情況，試估計一下這個比值（百分數），并建議家長是否要向供電公司申請使用“峰谷電”.

2. 請你當一回旅游團的“團長”

小剛打出了一條招聘廣告：現有一個50人的旅游團，開展“鄉村民俗”游. 旅游團住村民家，住宿客房有三人間、兩人間、單人間共三種，收費標準是三人間每人每晚30元，兩人間每人每晚50元，單人間每人每晚80元. 如果旅游團一次包住20間（或以上）客房，旅游團成員都可獲贈一份土特產小禮品. 現招聘旅游團“團長”一名，其條件是：安排這次旅游住宿，使住宿費用最低，還要讓旅游團成員都獲得小禮品.

試一試，你能否應聘這個旅游團的“團長”？

（1）試寫出住宿安排方案（列出相應的三元一次不定方程組）；

（2）求這個不定方程組的非負整數解；

（3）確定最佳方案，即住宿費用最低且獲優惠的安排方案；

（4）旅游團住一個晚上，最低費用是多少？

3. 學習試當營銷經理

一手機專賣店計劃購進某品牌A型、B型、C型三款手機共60部，每款手機至少要購進8部，且恰好用完購機款61000元. 三款手機的進價和預售價如下表：

由你來確定手機進貨的最佳方案，使預估利潤達到最大.

（1）設購進A型手機x部，B型手機y部，請寫出用含x，y的代數式來表示購進C型手機的部數；

（2）求y與x之間的函數關系式；

（3）假設所購進的手機全部售出，綜合考慮各種因素，在購買、銷售這批手機過程中需另外支出各種費用1500元.

①求出預估利潤P（元）與x（部）的函數關系式；

（注：預估利潤=預售總額-購機款-各種費用）

②求出預估利潤的最大值；

③要獲得最大利潤，求出此時應購進A型、B型、C型手機各多少部，即求這批手機進貨的最佳方案.

部分答案或解析

（3）設旅游團一個晚上的住宿總費用為F元，則F=90x+100y+80z=90（10+z）+100（10-2z）+80z，即得一次函數F=1900-30z. 因為一次項系數k=-30<0，所以F是減函數，即F隨著z的增大而減少. 所以當z=5時，F最小.

（4）旅游團住一個晚上，最低費用Fmin=1900-30×5=1750元.

3. （1）60-x-y.

（2）由題意得900x+1200y+1100·（60-x-y）=61000，整理得y=2x-50（*）.

（3）①由題意有P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，將（*）式代入并整理得P=500x+500.

③要獲得最大利潤，應購進A型手機34部、B型手機18部、C型手機8部.

活動創新素材

關于優化、優選問題的素材有很多，真可謂繁花似錦. 現精選一部分具有代表性的實例，并附解題提示和部分答案，以便于不同的教學階段使用.

1. 某超市對顧客實行優惠購物，規定如下：若一次購物少于200元，不予優惠；若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優惠；若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優惠，超過500元部分給予八折優惠.

小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元. 現在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少元？

提示：第一次付款198元，可能是所購物品的實價，未享受優惠；也可能是按九折優惠后所付的款，故應分兩種情況加以討論.

2. 某景點的門票價格如下表：

某校七年級一班和二班兩個班級計劃去游覽該景點，其中一班人數少于50人，二班人數多于50人且少于100人. 如果兩個班級分別以班為單位單獨購票，則一共需支付1118元；如果兩個班級聯合起來作為一個團體購票，則只需花費816元.

（1）兩個班各有多少名學生？

（2）聯合購票與單獨購票相比較，兩個班各節約了多少錢？

提示：結合表格信息，建立方程組.

3. 某學校要為七年級數學競賽獲獎選手購買以下三種獎品，其中小筆記本每本5元，大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數量是鋼筆數量的2倍，三種獎品共花費346元. 若要使購買的獎品總數最多，則這三種獎品的購買數量各為多少？

提示：可建立三元一次不定方程組并求其正整數解.

4. 某工廠生產A，B兩種型號的產品共50件，其生產成本與利潤如下表：

若該廠計劃投入資金不超過40萬元，且希望獲利超過16萬元，問：該廠有哪幾種生產方案？哪種方案為最佳方案？最大利潤是多少？

提示：設生產A型產品x件，建立含x的不等式組，將問題轉化為求x的正整數解并討論.

本次活動課教學要領

1. 認真籌劃好活動課事前準備工作，可提前7～10天印發活動課預習單，明確預習要求，讓全班普遍行動起來，每個同學都有所準備.

2. 發揮數學興趣小組的先行和引領作用，協助、配合活動課的開展. 興趣小組成員可適當分工，每3～5人領一個專題（一項活動內容），各自做好重點準備.

3. 教學方式主要是引導式. 對每一項活動都可進行頂層設計、分步實施、逐步引導，最終到達目標. 對問題的討論可采用大組與（鄰近同學自由組合的）小組相結合的形式.

4. 老師指點精準、適時，并充分運用好多媒體教學手段，及時顯示當前所要解決的問題、解決的過程和結果.

5. 與本次活動課鏈接的課本基礎知識有：比值（含百分比）、代數式、方程（組）、不定方程（組）及非負整數解、不等式（組）、函數及增減性、最值等，聯系較為廣泛.

6. 活動創新素材待課后完成，可發動全班收集（每人1～2項），經匯總、整理、去重、修訂，梳理出一些基本的和常見常用的類型，印發補充講義，實現成果共享，擴大教學成效.

實踐表明，數學活動課的教學生機盎然、成效顯著、潛力巨大，是引導學生接觸社會、學以致用、理論聯系實際的一個重要平臺，有助于學生核心素養的形成和提升.

目前，核心素養的研討引起了教育界的高度關注，因為它直接關系到創新型人才的培養. 核心素養是素質教育的一脈相承，是在素質教育基礎上的提升與發展. 要著力解決并增強核心素養在課堂教學改革中的實際問題，培育學生可持續發展的學習能力、綜合實踐能力、自主探究能力和創新能力.

雖然對核心素養的內涵和外延尚未確切界定，沒有嚴格的定義，但其主要內容是明確的. 無疑，綜合實踐能力、探究創新能力是核心素養極為重要的組成部分，而數學活動課，尤其是數學的綜合與實踐活動課發揮著獨特的、無可替代的作用. 數學新課標已經給我們指明了教學改革的正確方向，堅持不懈地努力，就一定能夠達到預期的目標.