從兩節研討課談數學探究式教學

科學探究是科學研究的重要方法，數學探究是數學發現和創造的重要途徑。

布魯納說過：“探索是數學的生命線。”G.波利亞曾指出：“學習任何東西的最佳途徑就是靠自己去發現、創造。”新課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式。然而數學知識是形式化的思想材料，具有高度的抽象性，完全讓學生獨立發現和創造不太可能，必須采用探究式教學，對學生進行有目的的引導。

探究式教學就是教師引導學生在問題情境中采用實驗、觀察、分析、綜合、類比、歸納等方法，進行探究學習，以發現數學規律，創造數學表達。它能激發學生學習數學的熱情，培養學生自主探究的意識和能力，幫助學生獲得體驗感悟，加深知識理解，建構認知結構，學會靈活運用。

筆者最近參加了一次課堂教學展示活動，執教課題是《任意角的三角函數》（同課異構），執教教師都很注重引導學生進行探究。下面從其中兩節課的教學片段出發，談談筆者對探究式教學的思考。

一、教學片段

【A教師】

圖1

師同學們都見過摩天輪吧。（出示圖1）如圖，世界第二大摩天輪中心距水面約65米，半徑為60米，沿逆時針方向勻速轉動一周需36分鐘。若你在座艙中從點A位置開始計時，2分鐘后離水面的高度h為多少米？5分鐘后呢？20分鐘后呢？

生t=2時，h=65+60sin 20°；t=5時，h=65+60sin 50°。

師t≥9呢？大膽猜想。

生h=65+60sin（10t）°。

師很好！但是，這里有個問題：t≥9時，

SymbolPC@ AOP不是銳角，對于非銳角，我們還沒有定義過它的正弦函數。今天，我們就來研究任意角的三角函數。

（教師出示問題1：對于任意角α，如何定義sin α？同時，利用幾何畫板演示任意角。）

生建立平面直角坐標系，設點P坐標為（x，y），若r=x2+y2，則sin α=yr。

師很好！

（教師出示問題2：當α為銳角時，此定義能否兼容初中的定義？）

生能。當α為銳角時，過點P向x軸作垂線，設垂足為M，則直角三角形OPM中，PM=y，OP=r。

（教師出示問題3：類比任意角α正弦的定義，你能定義任意角α的余弦和正切嗎？學生回答后，教師展示定義。教師出示問題4：改變點P在終邊上的位置，角α的正弦是否隨之改變？余弦、正切呢？學生回答。）

師任意角α在平面直角坐標系中有唯一的終邊，因此任意角的三角函數值只與角的大小有關，而與點P的位置無關。換句話說，對于每個給定的值（角），正弦、余弦、正切的值唯一確定，這符合函數的定義。

（教師出示問題5：當角α的終邊落在不同象限時，討論角α的三個三角函數值的符號。學生活動。）

【B教師】

師前面我們學習了任意角的概念，下面我們可以研究什么？

生三角函數。

師任意角的三角函數如何定義呢？制訂什么方案？

生先從銳角開始。

師為什么？

生從已知到未知。

師回憶初中銳角三角函數的定義。

生sin α=對邊斜邊，cos α=鄰邊斜邊，

tan α=對邊鄰邊。

師（畫出角α，隱去直角三角形）回到前面的問題：如何表示任意角α的三角函數？

生如果α是銳角，我們可以在一邊上取一點P，過點P作另一邊的垂線，構造一個直角三角形。

師對于任意角（不是銳角）也可以這樣嗎？

生任意角不可以，它不能放在直角三角形中。

師想想任意角是如何定義的？

生可以建立坐標系，把任意角放在坐標系中。

圖2

師（在剛才的圖中建立平面直角坐標系，得到圖2）為什么要建立坐標系？

生在坐標系中，任意角都可由其終邊來確定。而PM和OM的長就是終邊上一點P的縱坐標與橫坐標，角α的正弦可以由點P的坐標來定義。設P（x，y），則sin α=yx2+y2，cos α=xx2+y2，tan α=yx。

師可不可以不取點P，另取一點P′？

生可以。由三角形相似知道比值是不變的。

師也就是說，這里的P可以是終邊上任意一點。那么，你能使比值更簡潔一些嗎？

生可以使OP的長為1，那么sin α=y，cos α=x。

師如果角的終邊在其他象限，也可以這樣來定義嗎？

生可以。

師三角函數是函數嗎？

生是。它符合函數的定義，是角的集合到實數集的函數。

師下面列表研究三角函數的定義域。

……

二、課例思考

（一）探究式教學應該關注學生的主體性

學生是學習的主體，探究是學生的探究。教學的一切都應該圍繞學生展開，都必須建立在學生的已有知識經驗和認知發展水平基礎上。探究式教學中，教師要精心創設問題情境，引起學生的認知沖突，引發學生的思維活動，讓學生自己發現、創造。

從上述兩個課例來看，兩位教師都關注了學生的主體性。不過，A教師對于任意角三角函數定義的產生有點操之過急，沒有給學生足夠的討論時間，只是讓一位好學生來回答。事實上，大多數學生對于為什么要引入坐標系、如何想到用坐標的比來定義三角函數并沒有想明白，失去了感受由舊知引發新知的良機。而B教師對此處理得比較好。

探究式教學中，如何關注學生的主體性呢？筆者以為：（1）要精選教學內容，突出重要數學概念、原理的呈現，特別是展現新知識產生、發展的過程。對于學生能夠自己弄懂的內容，要盡可能讓學生去發現（如本節課中余弦、正切的定義，三角函數值在各個象限的符號等）；對于學生很難自己弄懂的內容，要重點引導學生探究，幫助學生突破（如本節課中從銳角三角函數的線段比過渡到坐標比，進而給任意角的正弦下定義）。（2）要面向全體學生，通過由遠及近、分級提問、只問不答等方式，給每個學生探究的機會，使不同層次的學生獲得不同的啟發，得到不同的發展。

（二）探究式教學應該通過問題情境促進知識生長

新知識的引入必須有一個生長點，這個生長點通常是一系列問題情境。問題情境是一個人在進行某種活動時所處的環境和推動的力量，可以引趣、激疑和誘思，能夠讓學生自我探索，獲取信息，加工信息，得到新信息。離開了問題情境，探究便無從談起。

從上述兩個課例來看，兩位教師都體現了讓學生經歷“創設問題情境—提出猜想—共同驗證—歸納總結—拓展應用”的活動過程。A教師從生活實例摩天輪運動入手，通過研究任意時刻某個座艙的高度，引發學生的認知沖突，從而引出本節課研究的內容。這一情境是學生熟悉的，容易引發學生的興趣，但是相應的數學問題偏難，使得學生很難猜出結果。B教師則由前面兩節課學習的內容入手，讓學生思考今天應該研究什么。這里缺少現實情境，不能凸顯研究的價值和需要，而且問題過于開放，使得學生不易回答。

作為數學學習的載體，問題情境是否在學生的“最近發展區”，將直接影響學生的學習興趣和對內容實質的把握，影響學生觀察、實驗、猜測、驗證、推理、交流等活動的有效性。因而，創設問題情境時應該認真解讀課標和教材，準確把握教學要求，基于學生立場，認識教學內容，關注學生發展的需要；應該以“現實性”為基本前提，以“針對性”為實質內容，以“趣味性”為情感目標，以“思考性”為價值導向，以“探究性”為發展需求。

（三）探究式教學應該通過問題串或提示語適度引導學生

在引導學生進行探究時，教師要把握好度，既不放任自流，也不越俎代庖；通過適當的問題串或提示語，給學生必要的明示與暗示，引導學生發現線索，通過自己的思維與實踐獲得發現與創造。

本課的新知引入環節中，教師可以設置問題串，引領學生的探究活動：（1）（出示畫面，有意識地把點放在第一象限）大家都見過摩天輪吧，那么如何表示圓周上一點P的位置呢？預設學生可以用多種方法表示點P的位置，如用有序實數對（x，y）表示，用轉過的角度α（∠AOP）及OP的長度r表示等。（2）既然（x，y）與（r，α）都可以表示點P的位置，那么x、y、r、α之間有什么關系呢？預設學生不能順利解決。（3）如何建立坐標系呢？由有關的角度與長度能想到什么呢？預設學生可以得到：當α是銳角時，可以利用直角三角形中的銳角三角函數來表示x、y、r、α之間的關系。（4）如果α不是銳角，比如鈍角、任意角，還可以這樣表示嗎？為什么不行呢？由此，引起學生的認知沖突，明確本節課的探究任務：任意角的三角函數。