讓學生的錯誤成為教學的入口

摘要：教學《利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性》一課時，在復習函數(shù)單調性定義的環(huán)節(jié)，引導學生注意關鍵詞的含義；在判斷一次函數(shù)單調性的環(huán)節(jié)，引導學生注意數(shù)學語言的嚴謹性；在判斷高次函數(shù)單調性的環(huán)節(jié)，引導學生理解導數(shù)的幾何意義；

在判斷對數(shù)函數(shù)單調性的環(huán)節(jié)，引導學生注意函數(shù)單調性的前提條件。由此，感悟到：學生在學習新知識的過程中犯錯是正常現(xiàn)象；

學生的典型錯誤往往蘊含著正確想法的基因；數(shù)學教學應在深度“對話”中自然建構。

關鍵詞：學生錯誤對話教學導數(shù)函數(shù)單調性

德國哲學家尼采認為：“時不時地犯錯是人類天性的一部分。”英國哲學家波普爾進一步指出：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素。對于錯誤的恐懼是將我們鎖在平庸城堡中的大門。只有克服這種恐懼，我們才能夠朝著自由邁出重要的一步。”下面，結合《利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性》一課的幾個教學片段，談談我們對于學生所犯錯誤的認識與思考。

一、教學片段

（一）復習函數(shù)單調性定義：注意關鍵詞的含義

師前面一段時間我們研究了導數(shù)，還記得它是準備用來做什么的嗎？

生準備用來研究函數(shù)單調性的。

師那么，你已經知道函數(shù)單調性的哪些內容了？

生我知道函數(shù)單調性的定義，知道怎么證明函數(shù)的單調性。

師那你說說函數(shù)單調性的定義。

（教師投影：函數(shù)單調性的定義是什么？）

生在定義域內，取x1、x2，且x1f（x2），則函數(shù)f（x）在其定義域內為減函數(shù)。

（教師板書。）

生（叫嚷）不對！

師哪里不對了？

生x1、x2應該在定義域的某個子集里面取，而且應該是任取的。

師為什么有這樣的要求呢？

生因為有的函數(shù)在定義域內不具備單調性。

師比如？

生例如y=x2。

師很好！我們知道函數(shù)的單調性是一個局部概念，在定義中需要強調的是在定義域的一個子集（區(qū)間）內任意取x1、x2。

（教師更正板書。）

（二）判斷一次函數(shù)單調性：注意數(shù)學語言的嚴謹性

師剛才我們回憶了函數(shù)單調性的定義，那么請同學們思考第二個問題。

（教師投影：如何判斷函數(shù)y=2x-3的單調性？）

生因為函數(shù)斜率大于0，所以此函數(shù)在定義域內單調遞增。

師函數(shù)的斜率？

生哦，不是。是這個一次函數(shù)（方程）對應的圖像（直線）的斜率。

師嗯，要注意語言的嚴謹性。那么如果函數(shù)是y=-x+1呢？

生因為它對應的直線的斜率小于0，所以這個函數(shù)在定義域內單調遞減。

師也就是說，一次函數(shù)的單調性與相應直線的斜率有關。

（三）判斷高次函數(shù)單調性：理解導數(shù)的幾何意義

師請同學們看第三個問題。

（教師投影：如何判斷函數(shù)y=x2-4x+3的單調性？）

生這個函數(shù)在（-∞，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增。

師你是怎么得到這個結論的？

生把函數(shù)配方成y=（x-2）2-1，可以得到函數(shù)圖像的頂點坐標。因為二次項系數(shù)為1，大于0，所以圖像開口向上。再找出兩個對稱點（0，3）、（4，3），可以畫出簡圖。由圖像可知函數(shù)在（-∞，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增。

師大家看看，這個結論尋求的過程對嗎？它與上一個函數(shù)單調性的研究有什么不同？

生第一個是利用相應直線的斜率得出函數(shù)的單調性，第二個是利用函數(shù)的圖像。

師那么，這次為什么不依然利用斜率刻畫函數(shù)的單調性呢？

生這個函數(shù)的圖像是曲線，沒有斜率。

師嗯，直線有斜率是我們早已知道的，那么曲線真的沒有“斜率”嗎？

（學生思考。）

生哦，不對。可以用曲線上一點處切線的斜率來表示。

師你準備怎么表示呢？

生對函數(shù)y=x2-4x+3求導，得y′=2x-4。取函數(shù)值f′（2）=0，f′（0）=-4<0。再在（-∞，2）上任意取x，都有f′（x）<0，所以（-∞，2）是函數(shù)的單調減區(qū)間。

生（-∞，2）上有無數(shù)個數(shù)x，你怎知道都有f′（x）<0？

師你怎么解釋同學提出的疑惑？

生因為當x0<2時，f′（x0）<0恒成立。

師“當x0<2時，f′（x0）<0恒成立”如何得到？

生因為y′=2x-4在（-∞，2）上是增函數(shù)，所以f′（x）

師也就是說，這個二次函數(shù)可以避開圖像，從數(shù)的角度得出單調性了？

生是的。

師那這個函數(shù)呢？

（教師投影：一個三次函數(shù)y=x3+2x2，畫不出函數(shù)圖像，你能否從上面的分析中類似地得出答案？

學生在座位上演算。教師巡視，請一位做出來的學生站起來回答。）

師從這三種函數(shù)的研究過程中，你能總結出什么樣的結論呢？

（學生思考。）

生對于一個函數(shù)，解f′（x）<0就能求出單調減區(qū)間，同樣f′（x）>0解出的就是單調增區(qū)間。

師這個結論對于更為一般的函數(shù)是否適用呢？若想說明它具備一般性，應該怎么辦？

生證明。

師怎么證明？

生利用學過的函數(shù)單調性的定義。

師還得回歸單調性的定義。（指著剛才板書的函數(shù)單調性的定義）觀察定義，怎么和導數(shù)聯(lián)系在一起呢？

生當x10，即f′（x）>0；f（x1）>f（x2）ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1<0，即f′（x）<0。

（教師在剛才的板書下對應板書。）

師很好，這就是我們今天要學習的新內容。

（板書課題。）

（四）判斷對數(shù)函數(shù)單調性：注意函數(shù)單調性的前提條件

師好了，請大家看看剛才求的這個三次函數(shù)的單調區(qū)間，如何完善其解題過程？

生因為y′=3x2+4x，令y′>0，即3x2+4x>0，解得x<-43或x>0；令y′<0，即3x2+4x<0，解得-43

師下面請大家來看看：（同步投影）函數(shù)y=xln x的單調區(qū)間應該怎么求？

（一位學生上黑板求解，其余學生在下面討論。教師指名回答。）

生黑板上的不對，對數(shù)不等式解錯了。因為函數(shù)的定義域是（0，+∞），所以所有的單調區(qū)間都得在這個范圍里求。

師很好！剛開始上課時我們就復習了函數(shù)單調性的定義，這里一定不能丟掉函數(shù)的定義域。根據(jù)這幾個函數(shù)單調性的研究，你能總結利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟嗎？

生（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的導數(shù)f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0（<0）；（4）下結論。

（教師板書。）

師繼續(xù)看一個函數(shù)：（同步投影）函數(shù)f（x）=sin x，x∈（0，2π）。

生增區(qū)間是0，π2，3π2，2π，減區(qū)間是π2，3π2。

師你是怎么解的？

生利用剛才的四個步驟。

師有沒有不同于這個解法的？

生還可以直接畫圖，得出單調區(qū)間，因為它是基本初等函數(shù)。

師很好！我們不能因為學習了導數(shù)的方法就忘記了更為基本的解決辦法。那么，如果函數(shù)變成y=sin 2x、y=sin x+cos x、y=sin x+2cos x呢？

（學生作答。）

師所以以后遇到求解函數(shù)單調性的問題時，選擇合適的方法很重要。

（課堂總結，布置作業(yè)。）

二、教學思考

（一）學生在學習新知識的過程中犯錯是正常現(xiàn)象

我們認為，學生在學習新知識的初期，由于受到已有的知識以及經驗的影響，不可避免地會產生各種各樣的錯誤。這屬于正常現(xiàn)象，是可以接受的。

譬如，學生對于函數(shù)的單調性容易一知半解、以偏概全。首先，函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部屬性，因此可以在其定義域的子集中研究，不需要在其整個定義域中研究。其次，x1、x2應該在定義域的子集中任意選取，唯有如此，才能保障函數(shù)在該子集上具有單調性。這些是函數(shù)單調性學習中的難點。多年的教學實踐表明，歷屆學生在此處都會犯錯誤。

又如，學生對于曲線的斜率容易產生誤解。首先，源于對于直線斜率的狹隘理解，因為第一次認識斜率時，斜率反映的是直線的陡峭程度。其次，源于對于導數(shù)幾何意義的膚淺認識，因為剛開始接觸這一幾何意義時，還不能將其真正納入原有的認知結構中，實現(xiàn)認知上的順應。這里既需要教師的喚醒，更需要學生的領悟。

（二）學生的典型錯誤往往蘊含著正確想法的基因

學生的典型錯誤往往蘊含著正確想法的基因，可以成為發(fā)現(xiàn)源與創(chuàng)新點。教師需要小心地呵護，精心地研究，使之成為教學的入口、探索之大門。

譬如，研究函數(shù)y=xln x的單調減區(qū)間時，不少學生得到這樣的結果：求導數(shù)得y′=ln x+1，由ln x+1<0解得x<1e，所以函數(shù)y=xln x的單調減區(qū)間為-∞，1e。這樣的結果雖然是錯誤的，但是距離正確答案只有一步之遙：注意到函數(shù)y=xln x的定義域為（0，+∞），即可得到正確答案。對于學生來說，有了這次認知沖突，才能銘記考察函數(shù)定義域的重要性與必要性。

（三）數(shù)學教學應在深度“對話”中自然建構

巴西教育家保羅·弗萊雷說過：“沒有對話，就沒有了交流，也就沒有了真正的教育。”古希臘哲學家蘇格拉底更是以“蘇格拉底方法”成為啟發(fā)式教學的先驅：他在與學生談話的過程中，并不直截了當?shù)馗嬖V學生所應知道的知識，而是通過問答、討論甚至辯論的方式來揭露學生認識中的矛盾，逐步引導學生自己得出正確答案。教學實踐表明，“對話”不僅是一種調動學生的教學手段，更是一種尊重學生的教育思想；不僅是教師和學生通過語言進行的交流與討論，更是學生之間觀點與想法的碰撞與爭鳴。

本節(jié)課最大的亮點就是教師不斷地與學生對話，并盡可能地激發(fā)學生之間的互動，使教學過程懸念叢生、高潮迭起，不斷產生思維的火花與智慧的接力。教師還特別注意通過追問，讓學生之間形成爭議與交鋒，最終達成對真理的共識與共享，讓課堂充滿智趣與情趣。