數(shù)學(xué)教學(xué)何必心太急

摘要：在《“別時(shí)容易見時(shí)難”：增補(bǔ)內(nèi)容的教學(xué)思考》一文中，張贊老師認(rèn)同和提出的關(guān)于“增補(bǔ)內(nèi)容”的案例性建議、一般化觀點(diǎn)顯得有些急功近利，值得商榷。教學(xué)多項(xiàng)式整除（因式分解）問題，要對(duì)學(xué)生的解法做出自然、深入的點(diǎn)撥，而沒有必要補(bǔ)充多項(xiàng)式帶余除法。考慮到更多學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、負(fù)擔(dān)以及更高層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)、要求，課標(biāo)對(duì)一些課程內(nèi)容做了刪減是適當(dāng)?shù)摹Ｃ嫦蛉w、指向育人的數(shù)學(xué)教學(xué)并不僅在于教學(xué)內(nèi)容的多少與增刪，而更加在于教學(xué)的過程和方式；應(yīng)該是一種慢化的藝術(shù)，關(guān)注知識(shí)建構(gòu)過程，突出學(xué)生主體探索，注重探索路徑規(guī)劃，強(qiáng)化實(shí)踐活動(dòng)體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)增補(bǔ)內(nèi)容教學(xué)過程教學(xué)方式慢的藝術(shù)

《中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》2017年第7期刊載了江蘇省蘇州市吳江區(qū)笠澤實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)張贊老師的《“別時(shí)容易見時(shí)難”：增補(bǔ)內(nèi)容的教學(xué)思考》（簡(jiǎn)稱《增補(bǔ)》）一文。

該文首先簡(jiǎn)要講述了一道多項(xiàng)式整除（因式分解）問題的解題教學(xué)過程：教師出示習(xí)題“已知x2-3x+1是關(guān)于x的多項(xiàng)式ax3+bx2-1的一個(gè)因式，則2b-a的值為”；學(xué)生1設(shè)另一個(gè)因式為ax-1，把兩個(gè)因式相乘展開，通過其與原式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等解得a、b的值，求出2b-a的值，但是沒解釋設(shè)另一個(gè)因式的依據(jù)；教師肯定這種解法的正確性；學(xué)生2根據(jù)x2-3x+1=0時(shí)ax3+bx2-1=0，求出x2-3x+1=0的兩根，分別代入ax3+bx2-1=0解得a、b的值，求出2b-a的值，但是其結(jié)果與學(xué)生1的不同；教師肯定這種思路的正確性，但是因?yàn)殛P(guān)于a、b的方程組比較復(fù)雜，一時(shí)不能確定求解時(shí)的錯(cuò)誤在哪里，于是讓學(xué)生存疑，課后深入思考。然后，該文給出了一位奧數(shù)教師和李尚志教授對(duì)上述解題教學(xué)案例的建議：補(bǔ)充（課標(biāo)、教材之外被刪減的）多項(xiàng)式帶余除法，使得問題的解決更加便捷（根據(jù)余式恒等于0，可以直接解得a、b的值）。

由此，該文提出了一般化觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)對(duì)課標(biāo)、教材之外被刪減的“數(shù)學(xué)主干鏈條上的知識(shí)”進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑鲅a(bǔ)。

具體到初中階段

，應(yīng)該認(rèn)真思辨哪些內(nèi)容值得增補(bǔ)（多項(xiàng)式帶余除法、韋達(dá)定理、四點(diǎn)共圓等值得增補(bǔ)），精心預(yù)設(shè)增補(bǔ)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式

（在教學(xué)相關(guān)的知識(shí)時(shí)，利用適當(dāng)?shù)膯栴}情境引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)）；并且不宜讓增補(bǔ)內(nèi)容直接或拓展進(jìn)入考卷（但是可以將其隱含在試題中）。

一、相關(guān)的商榷

縱觀《增補(bǔ)》一文，筆者認(rèn)為：張老師具有勤思、善思的教學(xué)作風(fēng)和品質(zhì)，令人欽佩；但是，張老師認(rèn)同和提出的關(guān)于“增補(bǔ)內(nèi)容”的案例性建議、一般化觀點(diǎn)顯得有些急功近利，值得商榷。

（一）對(duì)文中關(guān)于“增補(bǔ)內(nèi)容”的案例性建議的思考

在文中講述的解題教學(xué)過程中，學(xué)生是能夠解決教師出示的問題的。這里，教師主要的不足之處不是沒有補(bǔ)充多項(xiàng)式帶余除法，使得問題的解決更加便捷；而是沒有充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，對(duì)學(xué)生的解法做出點(diǎn)撥，讓學(xué)生的思考更加自然、深入。

學(xué)生的解法1簡(jiǎn)單而有效。對(duì)此，教師最主要的不足之處在于沒有追問設(shè)另一個(gè)因式的依據(jù)，便因答案正確而迅速滑過了。這里，教師應(yīng)該讓學(xué)生從多項(xiàng)式乘法中積的次數(shù)與因式的次數(shù)之間的關(guān)系來分析設(shè)另一個(gè)因式的依據(jù)：兩個(gè)因式最高次項(xiàng)的積為積的最高次項(xiàng)，兩個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積為積的常數(shù)項(xiàng)，易得另一個(gè)因式的最高次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別是ax、-1。數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注思維過程，讓學(xué)生“知其然，更知其所以然”。

學(xué)生的解法2復(fù)雜但可行。對(duì)此，教師最主要的不足之處在于沒有指出它和學(xué)生1的解法殊途同歸的根本原因，即它和學(xué)生1的解法在本質(zhì)上的相通之處。這里，教師應(yīng)該讓學(xué)生從兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的角度來認(rèn)識(shí)兩種解法：由學(xué)生1解法中的恒等式（ax-1）·（x2-3x+1）=ax3+bx2-1，可以將其左邊展開，再通過左右兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，列方程組求解a、b，也可以通過代入兩個(gè)特殊的x的值，列方程組求解a、b（如代入x=1和x=-1，列方程組-a+1=a+b-1，5（-a-1）=-a+b-1）；學(xué)生2的解法在本質(zhì)上是通過代入兩個(gè)使恒等式左右兩邊為零的x的值，列方程組求解a、b。數(shù)學(xué)教學(xué)還需要打通知識(shí)聯(lián)系，讓學(xué)生建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)，理解內(nèi)容本質(zhì)。當(dāng)然，教師還應(yīng)該讓學(xué)生比較兩種方法的優(yōu)劣，學(xué)會(huì)合理地選擇。

可見，做出這樣的點(diǎn)撥后，學(xué)生便能很好地認(rèn)識(shí)和掌握這類題目及其解法，教師沒有必要補(bǔ)充多項(xiàng)式帶余除法。

（二）對(duì)文中關(guān)于“增補(bǔ)內(nèi)容”的一般化觀點(diǎn)的思考

數(shù)學(xué)課程是否應(yīng)對(duì)“數(shù)學(xué)主干鏈條上的知識(shí)”進(jìn)行刪減？數(shù)學(xué)教學(xué)是否應(yīng)對(duì)“數(shù)學(xué)主干鏈條上的知識(shí)”進(jìn)行增補(bǔ)？

一些大學(xué)教授關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)體系、結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性、完備性，認(rèn)為初等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容都不能刪減。很多奧數(shù)教師和普通教師關(guān)注競(jìng)賽成績(jī)和考試成績(jī)，認(rèn)為可以幫助學(xué)生快速解決問題的數(shù)學(xué)內(nèi)容都不能不講，否則學(xué)生就會(huì)吃虧。但是，他們沒有從普通學(xué)生現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)能力、負(fù)擔(dān)以及理想的學(xué)習(xí)目標(biāo)、要求的角度來考慮他們是否能夠理解以及是否需要掌握那些內(nèi)容。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性。數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展。義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)。”這說明義務(wù)教育

階段的數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性，即面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要；也具有指向性，即以知識(shí)學(xué)習(xí)、技能訓(xùn)練為載體，以思維發(fā)展、素養(yǎng)提升、精神培養(yǎng)、文化傳承為目標(biāo)（以內(nèi)容為載體，以育人為目標(biāo)）。

考慮到更多學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、負(fù)擔(dān)以及更高層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)、要求，課標(biāo)（及教材）對(duì)一些課程（及教學(xué)）內(nèi)容做了刪減。比如，對(duì)《增補(bǔ)》一文提及的韋達(dá)定理（即一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）不做過多、過高要求（以選學(xué)形式出現(xiàn)）。其原因有二：（1）相關(guān)的難點(diǎn)比較多，學(xué)生難以掌握。如不解方程利用定理求值問題，其代數(shù)式有齊次對(duì)稱式、非齊次對(duì)稱式等，轉(zhuǎn)化和變形等情況復(fù)雜、多變，需要充分運(yùn)用整體處理、恒等變換、消元降次等思想方法，學(xué)生理解力和思維力明顯不足。如根據(jù)條件求待定系數(shù)的值或范圍問題，其求解需要考慮較多的因素（二次項(xiàng)系數(shù)、有根條件、實(shí)際意義等），學(xué)生綜合能力明顯不夠。（2）應(yīng)用的價(jià)值不夠高，學(xué)生無須掌握。如在二次函數(shù)綜合問題中的應(yīng)用，

隨著二次函數(shù)要求的降低而消減。如在發(fā)展逆向思維活動(dòng)中的應(yīng)用（基于根的情況研究系數(shù)情況），可以被整式乘法與因式分解的比較、一元二次方程方程根的判別式的應(yīng)用、幾何問題條件與結(jié)論互換的變式探究等代替。

當(dāng)然，考慮到部分“資優(yōu)生”的水平和興趣，以及“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)和要求，教師可以在課外個(gè)別輔導(dǎo)中對(duì)一些被刪減的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑鲅a(bǔ)，從而引發(fā)他們更為深入的探索。

二、引發(fā)的數(shù)學(xué)教學(xué)思考

其實(shí)，面向全體、指向育人的數(shù)學(xué)教學(xué)，并不僅在于教學(xué)內(nèi)容的多少與增刪（很多教學(xué)內(nèi)容都可以面向全體、指向育人），而更加在于教學(xué)的過程和方式（即關(guān)注學(xué)生是如何理解、掌握教學(xué)內(nèi)容的）。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)自主建構(gòu)、自然生長(zhǎng)、逐步完善、螺旋上升的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一種慢化的藝術(shù)，教師不能急著把知識(shí)結(jié)論告訴學(xué)生，而應(yīng)該充分發(fā)掘內(nèi)容的意蘊(yùn)，發(fā)揮內(nèi)容的價(jià)值，認(rèn)真組織學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生參與探索和實(shí)踐的過程，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，從而在深化理解、激發(fā)熱情的基礎(chǔ)上發(fā)展思維、提升素養(yǎng)。

（一）關(guān)注知識(shí)建構(gòu)過程，讓課堂充滿“火熱的思考”

教育專家將數(shù)學(xué)知識(shí)分為三種形態(tài)：學(xué)術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)、教育形態(tài)。數(shù)學(xué)教學(xué)要將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程包含深厚的數(shù)學(xué)文化、豐富的數(shù)學(xué)思想方法、精妙的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)就是基于學(xué)習(xí)者已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，按照學(xué)習(xí)者的認(rèn)知能力和認(rèn)知水平重構(gòu)知識(shí)的認(rèn)知過程。這一過程尤其要突出思想方法的感悟、語言的表達(dá)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化、能力的培養(yǎng)；切不能采取“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的方式，失去應(yīng)有的教育價(jià)值。

例如負(fù)數(shù)知識(shí)的建構(gòu)活動(dòng)，一是利用生活中的現(xiàn)象（氣溫、海拔高度、進(jìn)出貨物情況的記錄等），感受負(fù)數(shù)的存在；二是通過具體的實(shí)例，親歷相反意義的量的表達(dá)過程，感悟數(shù)學(xué)的方法和價(jià)值；三是通過負(fù)數(shù)在數(shù)軸上表示的實(shí)踐，參與建構(gòu)數(shù)軸的過程，形成幾何直觀形象；四是經(jīng)歷負(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算法則的研討及運(yùn)用等過程，逐步完成負(fù)數(shù)知識(shí)的整體建構(gòu)，體驗(yàn)負(fù)數(shù)形成的必要性、合理性、簡(jiǎn)潔性、嚴(yán)密性。

（二）突出學(xué)生主體探索，讓課堂成為“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的場(chǎng)域

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生自主探索的過程，指向?qū)W生自己的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。教師要相信學(xué)生，讓學(xué)生疑，讓學(xué)生思，讓學(xué)生猜想、驗(yàn)證，讓學(xué)生歸納、演繹，充分挖掘?qū)W生的潛能，開啟學(xué)生的智慧。

例如多項(xiàng)式乘法公式的教學(xué)活動(dòng)：（1）練習(xí)：看誰算得又快又好！①（x+a）（x+b），（x+1）（x+2），（x-1）（x+2），（x-1）（x-2）；②（a+b）2，（x+3）2，（2x+1）2，（x-1）2；③（a+b）（a-b），（x+1）（x-1），（x-2）（x+2），（2x+1）（2x-1）。（2）交流：①算得快的同學(xué)，能把你的計(jì)算秘訣告訴同學(xué)嗎？②你能歸納多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式哪些形式可以簡(jiǎn)便計(jì)算嗎？③試著給公式起一個(gè)合適的名稱。④試著用語言表達(dá)上述公式。⑤你能用圖形介紹上述公式嗎？（3）拓展：試著用得到的公式解決下列式子的計(jì)算。（2x+3y）2，（-2x+3y）2，（a-b）2，（a+b+c）2，（-2x+1）（2x+1），（-2x-1）（2x-1），（x+y+z）（x+y-z）。以上教學(xué)活動(dòng)，能夠引導(dǎo)學(xué)生自主回憶和運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，探索和發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的特殊形式及其運(yùn)算規(guī)律，并基于自己的理解給公式起名稱，用語言和圖形表述公式內(nèi)涵。這樣的一節(jié)課，能夠幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)完全平方公式、平方差公式，并完善、深化。

（三）注重探索路徑規(guī)劃，讓課堂成為思維發(fā)展的殿堂

幫助學(xué)生發(fā)展思維，需要滲透數(shù)學(xué)思想方法，引領(lǐng)學(xué)生規(guī)劃探索的路徑。一方面，要關(guān)注

已知和未知之間的聯(lián)系，指引知識(shí)建構(gòu)的方法；另一方面，還要關(guān)注條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，指引問題解決的策略。由此，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，幫助學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，感悟問題本質(zhì)。

例如，教學(xué)四邊形知識(shí)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先回顧三角形的研究思路（如圖1），再類比遷移，規(guī)劃四邊形的研究路徑（如圖2），進(jìn)而構(gòu)建幾何圖形研究的一般模式，不斷優(yōu)化研究路徑，形成整體結(jié)構(gòu)。

又如，教學(xué)一元二次方程問題“寫一個(gè)一元二次方程，使它的兩根為方程x2-x-2=0的兩根的相反數(shù)”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃以下路徑：（1）直接計(jì)算：①求出x2-x-2=0的兩根2、-1；②寫出所求方程的兩根-2、1；③列出所求的方程（x+2）（x-1）=0，得到x2+x-2=0。（2）整體代換：①設(shè)出x2-x-2=0的兩根α、β；②寫出所求方程的兩根-α、-β；

③列出所求的方程（x+α）（x+β） =0，得到x2+（α+β）x+αβ=0；④得到x2+x-2=0。（3）關(guān)系變換：①設(shè)所寫方程的根為y，則y=-x；②將x=-y，代入原方程（-y）2+（-y）-2=0，得到y(tǒng)2-y-2=0。（4）變式方向：改換方程或改變根的關(guān)系。

（四）強(qiáng)化實(shí)踐活動(dòng)體驗(yàn)，讓課堂成為素養(yǎng)提升的領(lǐng)地

幫助學(xué)生提升素養(yǎng)，需要聯(lián)系實(shí)際展開應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)實(shí)踐性活動(dòng)。要將理論與實(shí)踐相結(jié)合，要求學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和方法解決現(xiàn)實(shí)情境的問題。活動(dòng)過程一般包括活動(dòng)方案設(shè)計(jì)、器材準(zhǔn)備、實(shí)地活動(dòng)、數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、活動(dòng)報(bào)告（總結(jié)）等幾個(gè)環(huán)節(jié)。由此，可以促進(jìn)學(xué)生形成“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，學(xué)習(xí)完相關(guān)的知識(shí)后，教師可以設(shè)計(jì)測(cè)量校園旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)和實(shí)施以下方案：（1）利用相似形，即同一時(shí)刻影長(zhǎng)與物長(zhǎng)成正比（如圖3）。工具：卷尺、標(biāo)志桿等；條件：晴天、平坦的場(chǎng)地等。（2）利用直角三角形邊角關(guān)系（如圖4）。工具：卷尺、測(cè)角儀等；條件：平坦的場(chǎng)地等。（3）利用直角三角形邊角關(guān)系及方程（如圖5、圖6）。工具：卷尺、測(cè)角儀等；條件：平坦的場(chǎng)地等。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)‘情理交融’課堂教學(xué)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：E-c/2013/011）的階段性研究成果。

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