對高中數(shù)學(xué)中直線與橢圓的交點(diǎn)分析

張峻源

摘要：在高中數(shù)學(xué)中，直線和橢圓的關(guān)系成為高考一個(gè)必考的內(nèi)容，其涉及的內(nèi)容可深可淺，運(yùn)算量可以非常簡單，同時(shí)也可能很復(fù)雜，可以作為選擇題、填空題或是最后的壓軸大題。關(guān)于直線和橢圓交點(diǎn)的分析在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)主導(dǎo)地位，需要學(xué)生花大量的時(shí)間進(jìn)行消化和運(yùn)用。本文主要對橢圓進(jìn)行簡單的介紹，重點(diǎn)闡述橢圓和直線兩者之間存在的聯(lián)系和所涉及的一些基本運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；直線與橢圓；交點(diǎn)分析；位置關(guān)系

G633.6

一、橢圓的基本介紹

1.橢圓的定義

平面內(nèi)的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)，該常數(shù)大于兩定點(diǎn)之間的距離，這樣的常數(shù)形成的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。而這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，其之間的距離叫做橢圓的焦距。

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式

共分兩種情況：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）； 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2-c^2=b^2。

3.橢圓的幾何性質(zhì)

關(guān)于橢圓的一些幾何性質(zhì)，有幾個(gè)方面。當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時(shí) -a≤x≤a，-b≤y≤b，當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸時(shí) -b≤x≤b，-a≤y≤a；橢圓的對稱性，其對稱中心其實(shí)就是橢圓的中心；橢圓的頂點(diǎn)，就是橢圓對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)；長軸與短軸，指的就是對稱軸上兩對頂點(diǎn)之間的線段；橢圓的離心率，指的是焦距與長軸之比，記作e，范圍在0和1之間，e越接近于1，橢圓就越扁，反之越圓。

二、直線和橢圓的交點(diǎn)問題

直線和橢圓可以是沒有交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn)，其分別體現(xiàn)的是直線與橢圓的相離、相切和相交。當(dāng)直線和橢圓相離時(shí)，兩者之間沒有交點(diǎn)；當(dāng)直線和橢圓相切時(shí)，存在一個(gè)交點(diǎn)，就是切點(diǎn)；當(dāng)直線和橢圓相交時(shí)，會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，那么我們?nèi)绾尾拍芘卸ㄖ本€和橢圓的位置關(guān)系呢。

在探索直線和橢圓的位置問題時(shí)，主要是靠研究兩者之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，因此可以用代數(shù)的方法聯(lián)立方程組求解，從而進(jìn)行判定。首先，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立為方程組。其次，消去y或x得到一元二次方程。最后，計(jì)算△=b^2-4ac，當(dāng)△>0，即表示直線和橢圓相交；當(dāng)△=0，直線和橢圓相離；當(dāng)△<0，直線和橢圓相離。當(dāng)然，假如求得y或x有兩個(gè)解時(shí)，說明有兩個(gè)交點(diǎn)；只有一個(gè)解時(shí)，說明只有一個(gè)交點(diǎn)；無解的話，說明相互之間是沒有交點(diǎn)的。主要通過根和系數(shù)的關(guān)系和求根公式來解決這個(gè)問題，學(xué)會(huì)使用數(shù)形結(jié)合的方式可以更直觀、更清晰的表達(dá)出內(nèi)容。

三、直線和橢圓交點(diǎn)問題的基本運(yùn)算

直線和橢圓之間涉及到很多考點(diǎn)，要解決兩者之間的問題無非是要注意這幾個(gè)方面：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在；（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程；（4）一元二次方程的判別式；（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換；（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換；（7）x，y，k（斜率）的取值范圍；（8）目標(biāo)：弦長、中點(diǎn)、垂直、角度、向量、面積及范圍等。接下來列舉幾個(gè)常見的題型，進(jìn)而進(jìn)行分析和解答。

1.求取值范圍的問題

例如，直線和橢圓始終有交點(diǎn)，求橢圓方程中a或b的取值范圍。

一般遇到這種情況，可以先看直線方程，找出其特點(diǎn)，看該直線是否過定點(diǎn)，同時(shí)觀察橢圓的定點(diǎn)，初步確定所求變量的取值范圍。該題的解題關(guān)鍵是直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，從而確定題目的答案。

2.形成幾何面積問題

例如，橢圓方程已知，求兩焦點(diǎn)與橢圓y軸上的一個(gè)頂點(diǎn)所形成的面積。

做這種題目時(shí)，首先第一件事就是把圖畫出來，把需要的點(diǎn)都標(biāo)出來。這個(gè)題目其實(shí)很簡單，因?yàn)闄E圓的方程式是已知的，就可以知道兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，以及四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，只需要進(jìn)行簡單的等腰三角形的求和公式的運(yùn)算就可以得出答案。

3.求最小距離的問題

例如，橢圓方程已知，直線方程已知，求橢圓上是否存在一點(diǎn)到直線的距離最小以及最小距離為多少。

同樣，第一件事是畫圖，將已知的內(nèi)容全部畫上去。假設(shè)存在一點(diǎn)與直線的距離最小，得出距離d的一個(gè)方程，與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立求解，從而得出答案。從這個(gè)題目中，我們也可以得出，假如存在一個(gè)這樣的點(diǎn)，距離d等于零的話，說明直線與橢圓相切；距離大于零，則說明直線與橢圓相離。假如存在兩個(gè)點(diǎn)，距離d都等于零的話，說明直線與橢圓相交。

除此以外，還有其他很多關(guān)于直線和橢圓的題型，如橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)連線的垂直問題、直線被橢圓所截得的弦長問題、求橢圓方程的問題等。但不管怎樣，只要理清楚橢圓和直線所涉及的各個(gè)變量的運(yùn)算方式和相關(guān)公式，要解決整個(gè)問題就不難，所謂萬變不離其宗，其道理是一樣的。

四、結(jié)語

直線和橢圓之間的相關(guān)聯(lián)系，一直都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中備受關(guān)注的，能夠理清兩者之間的交點(diǎn)問題，還是能夠解決大部分的直線和橢圓之間的問題。不管是于直線和橢圓，直線和拋物線和其他曲線的解答思路都是差不多的，無非都是圍繞相交、相切和相離幾個(gè)因素轉(zhuǎn)。因此，同學(xué)們應(yīng)該重視這一方面的學(xué)習(xí)，不能在自己解決不了的問題面前止步不前，需要有耐心和堅(jiān)定的信念一直走下去，那時(shí)候就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)并不是想象中的那么難走。

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