常見的數學邏輯推理題的解法

蔣邕平

內容提要：數學本身具有嚴謹的邏輯性，提高邏輯推理能力是學好數學的關鍵。數學中常見的推理有邏輯推理、數字推理和圖形推理三大類。

關鍵詞：數學 推理 解題

【中圖分類號】G633.6

一、 邏輯推理

（一）列表法

例1 小王、小張和小李一位是工人，一位是農民，一位是教師，現在只知道：小李比教師年齡大；小王與農民不同歲；農民比小張年齡小。問：誰是工人？誰是農民？誰是教師？

分析與解：由題知：小李不是教師，小王不是農民，小張不是農民。由此得到左下表。表中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因為左上表中，任一行、任一列只能有一個“√”，其余是“×”，所以小李是農民，于是得到右上表。因農民小李比小張年齡小，又小李比教師年齡大，故小張比教師年齡大，即小張不是教師。因此得到左下表，從而得到右下表，即小張是工人，小李是農民，小王是教師。

例1中采用列表法，使得各種關系更明確。為了講解清楚，例題中畫了幾個表，實際解題時，不用畫這么多表，只在一個表中先后畫出各種關系即可。需要注意的是：①第一步應將題目條件給出的關系畫在表上，然后再依次將分析推理出的關系畫在表上；②每行每列只能有一個“√”，如果出現了一個“√”，它所在的行和列的其余格中都應畫“×”。

例2甲、乙、丙每人有兩個外號，人們有時以“數學博士”、“短跑健將”、“跳高冠軍”、“小畫家”、“大作家”和“歌唱家”稱呼他們。此外：（1）數學博士夸跳高冠軍跳得高；（2）跳高冠軍和大作家常與甲一起去看電影；（3）短跑健將請小畫家畫賀年卡；（4）數學博士和小畫家很要好；（5）乙向大作家借過書；（6）丙下象棋常贏乙和小畫家。你知道甲、乙、丙各有哪兩個外號嗎？

分析與解：由（2）知，甲不是跳高冠軍和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小畫家。由此可得到下表：

因為甲是小畫家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健將和數學博士，推知甲是歌唱家。因為丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠軍，推知乙是跳高冠軍。因為乙是跳高冠軍，所以由（1）知乙不是數學博士。將上面的結論依次填入上表，便得到下表（2） 。所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數學博士和大作家。

（二）假設法

例3四個小朋友寶寶、星星、強強和樂樂在院子里踢足球，一陣響聲，驚動了正在讀書的陸老師，陸老師跑出來查看，發現一塊窗戶玻璃被打破了。陸老師問：“是誰打破了玻璃？”

寶寶說：“是星星無意打破的。”星星說：“是樂樂打破的。”樂樂說：“星星說謊。”強強說：“反正不是我打破的。”如果只有一個孩子說了實話，那么這個孩子是誰？是誰打破玻璃？

分析與解：因為星星和樂樂說的正好相反，所以必是一對一錯，我們可以逐一假設檢驗。 假設星星說得對，即玻璃窗是樂樂打破的，那么強強也說對了，這與“只有一個孩子說了實話”矛盾，所以星星說錯了。假設樂樂說對了，按題意其他孩子就都說錯了。由強強說錯了，推知玻璃是強強打破的。寶寶、星星確實都說錯了。符合題意。所以是強強打破了玻璃。

由例3看出，用假設法解邏輯問題，就是根據題目的幾種可能情況，逐一假設。如果推出矛盾，那么假設不成立；如果推不出矛盾，那么符合題意，假設成立。

例4甲、乙、丙、丁四人同時參加全國小學數學夏令營。賽前甲、乙、丙分別做了預測。

甲說：“丙第1名，我第3名。”乙說：“我第1名，丁第4名。”丙說：“丁第2名，我第3名。”成績揭曉后，發現他們每人只說對了一半，你能說出他們的名次嗎？

分析與解：以“他們每人只說對了一半”作為前提，進行邏輯推理。

假設甲說的第一句話“丙第1名”是對的，第二句話“我第3名”是錯的。由此推知乙說的“我第1名”是錯的，“丁第4名”是對的；丙說的“丁第2名”是錯的，“丙第3名”是對的。這與假設“丙第1名是對的”矛盾，所以假設不成立。

再假設甲的第二句“我第3名”是對的，那么丙說的第二句“我第3名”是錯的，從而丙說的第一句話“丁第2名”是對的；由此推出乙說的“丁第4名”是錯的，“我第1名”是對的。至此可以排出名次順序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

二、數字推理

數字推理的本質是研究數字間的運算或位置關系，涉及數字和數據關系的分析、推理、判斷和運算等，旨在測查理解、把握事物間量化關系和解決數量關系的技能，解題原則如下：項數多，優先考慮組合數列；出現特征數字，優先從特征數字入手；增幅越來越大，優先從乘積、冪考慮；遞增或遞減，但幅度緩和，優先考慮相鄰兩項之差；各項倍數關系明顯，優先考慮作商或積及其變式；最好結合選項中的數，進一步判斷規律。

解數字推理題通常的有六種思考方法：

（一）從相鄰項之差入手

思路不明時，考慮數列相鄰項之差是解決數字推理問題的第一思維。

例5 1.5，5，5，12，5， （ ）

A. 3； B. 1； C. 24； D. 26

解：做相鄰兩項之差得 3.5，0，7，-7，再做差得 -3.5，7，-14，這是公比為-2的等比數列，下一項為28，因此數列3.5， 0，7， -7，下一項為21，所缺項應為 26，選D 。

（二）分析相鄰項之間的商、和、積

局部分析尤為重要。當某兩項（或多項）的和、積、商關系明顯時，優先考慮此法。若數明顯上升，可考慮相鄰項之和或積；當相鄰項之間存在比例關系時，可考慮相鄰項的商。

例6 2/3， 3， 4，14，58， （ ）

A. 814 ； B. 836 ； C. 802 ； D. 828

解： A。由14、58變化到800多，暗示考慮相鄰項的乘積。猜想前一項與后一項之積加2得第三項，驗證均成立。 2/3 ×3+2=3，3×4+2=14， 4×14+2=58，14×58+2=814，選A。

（三）猜各項間的運算關系

各項在橫向上有時存在相同的四則運算關系，要多心算、多假設。常見兩類：一是前一項經過運算得后一項；二是前兩項經過運算得第三項。常見兩種情形：⑴前一項的倍數加常數或加基本數列得下一項；⑵前一項的倍數加后一項的倍數得第三項。

例7 2， 5， 17， 71， （ ）

A.149 ； B.359 ； C.273 ； D.463

解：2×2+1=5，5×3+2=17， 17×4+3=71，71×5+4=359，選B。

（四）找通項公式

各項有時可用相同形式表示。在形成了一定的數字敏感度之后，解這類題就是一種直覺。

例8 4 ，11 ，30 ，67 ，（）

A. 126 ； B. 127 ； C. 128 ； D.129

解：研究通項的規律。 4=1^3+3 ，1=2^3+3，30=3^3+3， 67=4^3+3，

是自然數列的立方加3，依此規律，（）內之數應為5^3+3=128，選C。

（五）分析結構和位置

整體考察，找到結構特點。在解決圖形形式的數字推理問題時，考慮圖形結構和數字位置更為重要。

例9 2，3，6，9，14，15，30，（），62，27

A. 21 ； B.37 ； C. 35 ； D.24

解：此題是間隔組合數列，奇數項2、6、14、30依次做差得4、8、16、32，是公比為2的等比數列，于是認為奇數項是二級等比數列變式。偶數項3、9、15、（）、（），可假設是一個公差為6的等差數列，則（）應填入21，選A。

（六）探求整體特征

各項表現出的共有特征主要存在于以下幾個方面：整除、質數合數、排序、數位組合、數字之和等等。

例10 422，352，516， 743，682，（ ）

A.628 ； B.576 ； C.495 ； D.729

解：各項數字之和依次是8、10、12、14、16，構成公差為2的等差數列，故（）的數字之和應是18。每項有一個數字是其他數字之和，第一項4=2+2，第二項5=3+2，第三項6=5+1，第四項7=4+3，第五項8=6+2，可見最大數字在百位、十位、個位循環出現，因此（）的最大數字應在個位，選D。

三、圖形推理

圖形推理要求從所給出的四個選項中，選擇最合適的一個填入所缺項，使之呈現一定的規律性，測查觀察、抽象、推理能力。圖形推理包括規律推理和重構推理。規律推理是針對所給若干幅圖形的規律，選擇新圖形以延續現有的規律性。要求從給出的圖形中，找出排列規律，據此推導符合規律的圖形。根據圖形的變化規律可將題型分為數量類、樣式類和位置類。重構推理主要集中于空間構成，也稱為疊紙盒。常見的其解題技巧有如下幾種：1.仔細觀察圖形的大小變化、構成要素的增減、筆畫多少、旋轉方向、組合順序、疊加等；2.必須找出第一套圖的規律，然后用到第二套圖形中去。要觀察圖形的要點有：圖形的大小、筆畫曲直多少、方向的旋轉、圖形的組合順序、圖形的疊加、求同等等；3.要避免視覺錯誤，最好將所選答案去印證一下所找出的規律。

例11 從所給的四個選項中，選擇最適合的一個填入問號處，使之呈現一定的規律性（ ）。

解：D。考慮對稱軸方向，題中都是軸對稱圖形，而且對稱軸方向呈現水平、豎直、水平+豎直，水平+豎直，豎直、（水平）的對稱關系，選D。

例12把下面的六個圖形分為兩類，使每一類圖形都有各自的共同特征或規律，分類正確的一項是（ ）

A. ①③⑥，②④⑤， B. ①③⑤，②④⑥

C. ①③④，②⑤⑥， D. ①⑤⑥，②③④

解：C。 分析位置關系，各圖均有兩個黑點，根據兩黑點連線與各圖內部直線的方向的位置關系，可分為兩類：在①③④中，黑點連線與圖形內部直線為平行關系；在②⑤⑥中，黑點連線與圖形內部直線為垂直關系。故選C。

例13 從所給的四個選項中，選擇最合適的一個填入問號處，使之呈現一定的規律性（ ）。

解：C。研究共性（公共部分）問題，各圖內部的小圖形之間相接處都是點，沒有出現相切的邊，A、B、D三項中，各小圖形之間都出現了相切的邊，故選C。

另外，在運用圖形推理解題過程中，還可以從圖形的筆畫數、數量關系、圖形的特征、共性關系、折疊規律等特點進行推理。