數(shù)學(xué)“三角形”在高中物理解題中的應(yīng)用

位志強(qiáng)

摘要：數(shù)學(xué)是物理學(xué)的根基，數(shù)學(xué)知識(shí)是解決物理問題的工具和途徑，很多問題需要數(shù)學(xué)知識(shí)和物理思維的巧妙結(jié)合來(lái)解決。能夠靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題也是新課標(biāo)高考《考試大綱》中要求學(xué)生具備的五種能力之一，《考試大綱》要求學(xué)生具備根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論的能力；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。所以，高中物理教師在物理教學(xué)中除了要注重培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的物理基礎(chǔ)外，還要重視培養(yǎng)學(xué)生靈活、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。 “三角形”是數(shù)學(xué)中重要的幾何知識(shí)，同時(shí)也在解決物理問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用；本文將梳理用“三角形”知識(shí)解決高中物理問題時(shí)的應(yīng)用題型。

關(guān)鍵詞： 動(dòng)態(tài)矢量三角形 相似三角形 正弦定理

【中圖分類號(hào)】G633.7

一、動(dòng)態(tài)矢量三角形：高中學(xué)生在學(xué)習(xí)力的合成和分解時(shí)，一般都能掌握矢量運(yùn)算的平行四邊形法則，為了利于學(xué)生解題，高中教師也都還補(bǔ)充了矢量的三角形法則，雖然兩者的基本原理是相同的，但學(xué)生對(duì)于矢量的三角形法則應(yīng)用能力普遍比較弱。但是力學(xué)中的動(dòng)態(tài)平衡問題，如果利用矢量三角形法則卻能比較方便地解決此類問題。這種方法其實(shí)和所有解題方法一樣，就是利用已知量、不變量及約束關(guān)系去求出未知量、變化量。該方法在解題過程中的關(guān)鍵還是利用好已知量和變化量及約束關(guān)系，并作出正確的受力分析圖。當(dāng)然，這里面也有一定的技巧問題。如下面例題：

例1： 豎直光滑墻壁上固定一條繩子，一小球用繩子系住并靠于墻上，如圖（1-1）所示，當(dāng)系小球的繩子在變長(zhǎng)的過程中，繩子受到的拉力和球?qū)Φ膲毫κ侨绾巫兓模?/p>

解析：這一類型的題目，學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率往往是比較高的。解決此類問題的關(guān)鍵，還是如何找出條件中的不變量及約束，再輔助于作圖。在分析此題的過程中，我們可以很明顯地看到：在整個(gè)過程中，分析得出墻對(duì)球的支持力的方向不變，總是水平向右方向（此為約束），而且小球重力是不變的（此為不變量）。可先作出小球的–G（與重力等大反向），再作墻對(duì)球的支持力N1和繩對(duì)球的拉力N2的瞬時(shí)矢量圖，如圖（1-2）所示；三力的關(guān)系是N1和N2的矢量和應(yīng)該等于–G。依題意可以知道，繩子在伸長(zhǎng)的過程，實(shí)際上是–G和N2之間的夾角在變小的過程，由于物體的重力是不變的，且N1的方向不變，所以整個(gè)過程很容易知道兩力均是變小的過程。

再如題目，

二、相似三角形法：

“相似三角形法”指的是在對(duì)物體進(jìn)行受力分析（尤其是準(zhǔn)平衡態(tài)，即動(dòng)態(tài)平衡過程）時(shí)找到兩個(gè)相似三角形，其中一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示長(zhǎng)度，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示力的大小。利用相似三角形法可以判斷某些力的變化情況。如以下題目：

例2：一個(gè)半徑為 的半球形物體固定在水平地面上，球心的正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面 的距離為 ，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的 點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖（2-1）所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，使小球沿球面緩慢上升，在小球由 到 的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至?和繩對(duì)小球的拉力 的大小變化的情況是（ ）

、 變大， 變小 、 變小， 變大

、 變小， 先變小后變大 、 不變， 變小

解析：如圖（2-2）所示，對(duì)小球：受力平衡，由于緩慢地拉繩，所以小球運(yùn)動(dòng)緩慢視為始終處于平衡狀態(tài)，其中重力 不變，支持力 ，繩子的拉力 一直在改變，但是總形成封閉的動(dòng)態(tài)三角形（圖2-2中小陰影三角形）。由于在這個(gè)三角形中有四個(gè)變量：支持力 的大小和方向、繩子的拉力 的大小和方向，所以還要利用其它條件。實(shí)物（小球、繩、球面的球心）形成的三角形也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的封閉三角形（圖2-2中大陰影三角形），并且始終與三力形成的封閉三角形相似，則有如下比例式：

可得： 運(yùn)動(dòng)過程中 變小， 變小。

運(yùn)動(dòng)中各量均為定值，支持力 不變。正確答案D。

三、正弦定理

正弦定理（拉密定理）內(nèi)容：在一個(gè)三角形中，各邊長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等。即：

例3：兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b固定在輕質(zhì)細(xì)桿兩端，將其放置在一個(gè)光滑的半球面內(nèi)，如圖（3-1）所示。己知小球a和b的質(zhì)量之比為 ：1，細(xì)桿長(zhǎng)度與球面半徑之比為 ：1。則兩球均處于平衡狀態(tài)時(shí)，細(xì)桿與水平面的夾角θ是（ ）

解析：根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)可以知道，abO三點(diǎn)組成一個(gè)等腰直角三角形。故三角形兩底角都為 。對(duì)兩球進(jìn)行受力分析，由于球面光滑，所以a、b兩球都只受到3個(gè)力，如圖（3-2）所示：兩球各受重力、球面的支持力、 剛性細(xì)桿的彈力。由于是活動(dòng)桿，所以桿對(duì)a、b兩球的彈力都沿桿方向，并且對(duì)兩球的彈力大小相等。a、b兩球處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩球受到的合力都為零。a、b兩球受到的三個(gè)力都各自組成一個(gè)力的矢量三角形，然后由正弦定理列出等式。

對(duì) 球： ，對(duì) 球： ，所以： ，即 ，所以 。

所以答案D正確。

數(shù)學(xué)“三角形”在解中學(xué)物理習(xí)題時(shí)有其獨(dú)特的魅力，不僅能使抽象的物理問題更形象、直觀，求解過程簡(jiǎn)潔明了，而且還具有創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)提高解題能力和發(fā)展求異思維無(wú)疑有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)： 陳慶威 《相似三角形在高中物理試題中的應(yīng)用》

吳學(xué)紅 《用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題》