奇異值分解理論在學生成績評價中的應用

李軍　王振　尤蘭

摘要：本文利用矩陣理論中的奇異值分解方法，對學生各門課程的成績，既考慮其從不同角度評價所產生的差異性，也考慮其中偶然因素對成績的影響，以及各門課程之間的相關度，建立了一種基于奇異值分解法的多評價結論分類集結模型，并運用在對學生的成績等數據進行具體的分析中，對學生所學知識結構給出一個更合理的評價。

關鍵詞：奇異值分解；多評價；學生成績；一致度；可信度

【中圖分類號】G712.4

奇異值分解（Singular Value Decomposition）是線性代數中一種重要的矩陣分解，是矩陣分析中方陣對角化的推廣，在信號處理、統計學等領域有重要應用。

在現代高等教育中，學生成績評價是綜合素質測評中的重要一環。利用奇異值分解法對學生成績進行分析，可以一定程度上消除各門課程成績排名的差異，但考慮到同類課程因反映的能力是相近的，這時成績排名也應較接近，而不同類課程因反映的能力不同，成績排名也可能有差別，在用奇異值分解法的時候應消除同類課程排名的差異，即對各門課程的成績進行分類集結，從而得到令人滿意的較為科學的學生能力評價。

本文將各門課程依據各門課程的關聯程度分為數學、外語、計算機、專業課、文科等五大類，將每一類中各課程的學生成績列出，提取這些數據組中共性的評價信息，剔除其中的非共性的成分。接著，將這五個數據組分別構成矩陣，再利用奇異值分解法對矩陣進行分解。得到的非零奇異值是原矩陣的特征的量化，數值大的奇異值比數值小的奇異值描述了矩陣的更多的特征。通過將較小的奇異值設為零，再進行逆運算，從而得到一些新的矩陣。然后，對這些新的矩陣的一致可信度做分析，在決策中按照“一致性”與“可信度”的相對重要性程度選取參數，對不同的參數進行組合，從而體現出學生成績數據不同組合的效果。最終，尋找出“最滿意的評價結論”，從而了解學生對所學知識的掌握情況。

因限于篇幅，這里僅對數學類的成績進行分析，其他類的課程成績可類似處理。本文數據來源于江蘇某高校12級電氣專業某班學生的成績（見表1），共選取高數上、高數下、線性代數、復變函數與積分變換、概率論與數理統計五門課程的成績。表1中的加權成績公式為：加權成績 ，其中高數上、高數下、線性代數、復變函數與積分變換、概率論與數理統計成績分別用 、 、 、 、 表示。

1 奇異值分解過程

1.1奇異值分解

將采集到的學生數學成績構成實矩陣 ，其秩為5。對矩陣 進行奇異值分解（見公式1），得到正交矩陣 、 以及對角矩陣 和非零奇異值 。

（1）

非零奇異值 用于描述矩陣 中5個特征的量化比較， 數值大的奇異值比數值小的奇異值描述了 的更多的特征。因此可將 中較小的值設置為 ，從而修改 及 ，通過逆運算，得到修正的矩陣 ，用修正后的矩陣 代替原矩陣 ，達到“剝離噪聲信息”的目的。具體做法是 ： 保留 中對角線上最大的前 個奇異值，而將其他的 個值置為 ，得到新對角陣 及 。

1.2一致度可信度分析

在評價分析中，一方面要盡量減少學生數學各科成績間的差異，從而提高評價結論之間的一致性；另一方面又要使修正后的矩陣與原矩陣相吻合，避免較大的偏離，保持可信度。因此一致度與可信度是相互平衡，此消彼長的關系。兩個指標的具體計算如下：

一致度是指矩陣 與矩陣 的貼近程度，記為 ，計算公式為

。 （3）

其中， 為矩陣 的Fronbenius范數， 隨著 取值的減少而增大。

可信度是指矩陣 與原矩陣 的貼近程度，記為 ，計算公式為

， ， ， 。 （4）

為了同時滿足一致度與可信度的要求，需要構造一個新的指標，定義為“一致可信度”指標，記為 ，定義為

（5）

其中， ， 。 為線性組合部分，此部分表示一致度與可信度的互補性； 為非線性組合部分，此部分表示一致度與可信度的均衡性?？砂凑铡耙恢露取焙汀翱尚哦取钡南鄬χ匾潭葋碓O定 的值。

記 ， ， 。選取 的值，使得 的整體離散程度最大，從而盡可能地體現出不同k值下組合效果的差異。可以使用如下規劃模型

（6）

并借助MATLAB軟件算出 的值。

若取 ， ，由（6）式得 ， ，歸一化后 ， ，將所得 ， 代入式（5），得到表2中一致可信度分析數據。

1.3最終排名

由表2、表3可知取 時，近似矩陣 ，是去除“噪聲”后，最接近學生數學成績的數據。由公式（2）得到近似矩陣 ，具體數據見表4。

2 結論

在上面的分析中，學生A04和A06的排名發生了變化，雖然A04的原始成績的加權平均為88.7，而A06的原始成績的加權平均為88.2，但A06的成績更穩定?？紤]到若一位同學數學成績較好，應該是幾門數學課成績都較好，而不是有的分數較高，有的分數較低。所以在調整后的成績排名中，A06的排名比A04的高。這說明調整后的成績排名更合理。

本文采用的奇異值分解法，對大學生成績進行分析。和簡單的加權分析方法相比，平時采用的簡單加權方法只能簡單的評價學生成績，無法考慮學生成績中考察方法、角度的差異和主觀因素的影響，而奇異值分解法考慮到這點，去除“噪聲”干擾，更為真實的分析學生的成績。奇異值分解法能對學生成績做出科學的評價，對教學工作以及學生自我評價具有極高的參考價值。由此得出，奇異值分解法可以成為學生成績可行而又科學的評價方法。

參考文獻：

[1] David C. Lay，Linear Algebra and Its Application[M]. Third Edition， 劉深泉等譯，機械工業出版社，2005.

[2] 王宗軍. 綜合評價的方法、問題及其研究趨勢[J]. 管理科學學報，1998，1（1）： 75-79.