經(jīng)歷活動過程 積累無形經(jīng)驗
——《烙餅問題》教學(xué)實錄與思考

俞瑤璟 朱長生

一、情境引入，明確問題

師：（呈現(xiàn)主題圖）從圖中你發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息？

生：每次只能烙2張餅，兩面都要烙，每面需要3分鐘，要烙40張餅。

師：你找的信息很完整！每次只能烙2張餅是什么意思？

生：一只鍋同時只能烙2張餅。

師：也就是說烙一次最多烙熟幾個面？

生：2個面。因為烙2張餅，一張餅一個面，所以能烙熟2個面。

師：怎樣才能盡快吃上餅？

生：時間盡量短。

師：烙熟40張餅最少時間是多少？

【思考：對數(shù)學(xué)信息正確透徹的理解是本課的關(guān)鍵，通過提出關(guān)鍵性問題促使學(xué)生讀懂信息，感知烙餅的過程，為下一步研究問題奠定扎實的基礎(chǔ)。】

二、自主探究，轉(zhuǎn)化問題

1.揭題并板題：烙餅問題。

師：40張餅數(shù)字有點大，怎么研究？

生：先從小一點的數(shù)據(jù)來研究。

師：你想到了好辦法，可以先研究1張餅、2張餅、3張餅。這是從小數(shù)據(jù)開始研究。

（板書：小數(shù)據(jù)）

2.同桌合作，操作匯報。

（1）學(xué)生利用手中的學(xué)具（3張圓片）擺一擺，完成表格后和同桌交流。

餅數(shù)最少次數(shù)最少時間1 2 3

（2）全班同學(xué)交流匯報。

師：烙1張餅要烙幾次？需要幾分鐘？

生：烙2次，需要6分鐘。正面3分鐘，反面也要3分鐘。

師：烙2張餅最少需要幾次？最少時間是?

生：2次，最少需要6分鐘。

生：第一次是1正2正，第二次1反2反。

師：像這樣的烙法我們給它取個名字叫“2張同時烙”。

師：烙1張餅和2張餅為什么時間都是6分鐘？

生：2張餅是同時烙，而1張餅空間有浪費。

師：從烙的過程看，烙2張餅有沒有更加省時的方法？為什么？

生：沒有。每次鍋里都是2張餅，空間沒有浪費。

師：看來每次鍋里有2張餅時間是最少的。

師：3張餅最少烙幾次？最少時間是多少？

生：最少4次，最少時間是12分鐘。

（學(xué)生上臺邊擺邊說：第一次1正2正，第二次1反2反，第三次3正，第四次3反）

生：最少3次，最少時間是9分鐘。第一次1正2正，第二次1反3正，第三次2反3反。

師：像這樣有交替過程的烙法我們叫“3張交替烙”。

師：后一位同學(xué)對前一位同學(xué)的方法進(jìn)行了優(yōu)化，想到了最佳方法。

師：兩張餅我們用了2張同時烙的方法，3張餅用了3張交替烙的方法。

（3）思考烙4、5張餅。

師：剛才我們學(xué)習(xí)了2張同時烙和3張交替烙。請你思考烙4張餅怎么烙？最少次數(shù)是多少？最少時間呢？

生：最少4次，時間是12分鐘。第一次1正2正，第二次1反2反。

師：也就是說這兩張餅采用了什么方法？

生：2張同時烙的方法。

生：第三次3正4正，第四次3反4反，后面又是2張餅同時烙的方法。

師：剛才這位同學(xué)是怎么烙的？

生：轉(zhuǎn)化成了兩次2張同時烙的方法。

師：那可以記作：2，2。5 張餅怎么轉(zhuǎn)化呢？

生：先烙3張餅，采用3張交替烙的方法，另2張餅采用2張同時烙的方法。最少次數(shù)5次，時間15分鐘。

師：記作：2，3。回顧我們探索烙4張餅和5張餅的過程，你們用了什么重要的數(shù)學(xué)方法？

生：用到了轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成剛才學(xué)過的兩種最簡單的烙法：2張同時烙和3張交替烙。

（4）運用轉(zhuǎn)化方法。

師：6張餅怎么轉(zhuǎn)化呢？

生：轉(zhuǎn)化成3次2張同時烙，也就是 2，2，2。

生：我有不同想法，轉(zhuǎn)化為2次3張交替烙。也就是3，3。最少次數(shù)6次，最少時間18分。

師：7張餅怎么轉(zhuǎn)化？

生：轉(zhuǎn)化為2次2張同時烙，最后3張交替烙。記作2，2，3。最少次數(shù)7次，最少時間3×7=21（分）。

師：餅數(shù)不斷增加，咱們?nèi)嗤瑢W(xué)都要吃到餅，40張怎么轉(zhuǎn)化呢？

生：20 個 2。

生：12個3加上2個2。

生：13個3加上1個。

生：我認(rèn)為他的想法不對。因為最后一個單獨烙的話，那最后兩次鍋里沒有兩張餅的，最后兩次只有1張餅，空間有浪費，不是最短時間。

師：你們這么多方法，什么是一樣的？

生：最少次數(shù)40次，最少時間120分鐘。

師：那如果是998張餅?zāi)兀?/p>

【思考：當(dāng)學(xué)生面對數(shù)據(jù)比較大的時候，習(xí)得了一種分析問題的方法：從小數(shù)據(jù)著手。在研究烙1、2、3張餅時，每位同學(xué)都有充分的時間和空間，借助小圓片這一學(xué)具將烙的過程外顯化。正是學(xué)生經(jīng)歷的這一探索過程才讓學(xué)生掌握2張同時烙和3張交替烙兩種最優(yōu)化的方法，操作過程讓學(xué)生的思維變得形象直觀。對3張餅怎么烙時間最短我們還看到了優(yōu)化思想的滲透。當(dāng)然數(shù)學(xué)思維不該僅僅停留在形象思維上，還必須上升到抽象思維。研究烙4、5張餅不采用操作，這激發(fā)了學(xué)生的思維，想到了轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想。整個環(huán)節(jié)，學(xué)生動手操作，動腦思考，充分展示在操作中思考，在過程中學(xué)習(xí)。】

三、探索規(guī)律，建立模型

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：998張餅要去轉(zhuǎn)化就太麻煩了，而且轉(zhuǎn)化的方法也多種多樣。你是否能從表格中發(fā)現(xiàn)奧妙呢？

生：餅數(shù)是多少，最少次數(shù)就是多少。

生：除了1以外，其余的餅數(shù)=最少次數(shù)。

師：為什么呢？

生：2張餅，2×2=4個面，需要2×2÷2=2次。

生：3張餅，2×3=6個面，需要2×3÷2=3次。

生：4張餅，2×4=8個面，需要2×4÷2=4次。

師：n張餅?zāi)兀?/p>

生：n×2 個面，n×2÷2=n次。最少時間是n×3分鐘。

師：n可以等于1嗎？為什么？

生：1張餅要烙2個面，最少時間是6分鐘，而按照這樣算是3分鐘，所以n＞1。

2.運用規(guī)律。

師：俞老師班里有45位學(xué)生，每位學(xué)生一張餅，最少時間是多少？

生：45×3=135（分鐘）。

師：二年級210人，每人一張餅，最少時間是多少？

生：210×3=630（分鐘）。

師：還有其它方法可以驗證“餅數(shù)=次數(shù)”這個規(guī)律嗎？老師帶來了一種方法，現(xiàn)在我把這個鍋對折起來，烙1次烙熟了幾張餅？

生：對折以后相當(dāng)于一張餅的正反面同時烙熟了，n次就把n張餅烙熟了。

師：烙餅問題剛開始看確實是有一定挑戰(zhàn)性的任務(wù)，但只要找對策略，就能事半功倍。回顧一下，我們是怎么探索的？

（板書：小數(shù)據(jù)→轉(zhuǎn)化→規(guī)律）

生：先研究 1、2、3 張餅的烙法，在探索4、5、6張餅時用到了轉(zhuǎn)化，最后找到規(guī)律，可以求任意張餅數(shù)。

【思考：前面學(xué)習(xí)的兩種最優(yōu)烙法和轉(zhuǎn)化的重要思想為后面發(fā)現(xiàn)規(guī)律奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生借助觀察、歸納、概括獲得了計算最少時間的方法，即時間=餅數(shù)×一面需要的時間，這個算法其實是一個模型。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，真正經(jīng)歷了自己探索，自己總結(jié)結(jié)論，自己概括模型，充分展示了“過程教育”。】