用好素材讓探究真正發生
——《平行四邊形的面積》探究環節問題分析與改進策略

許冬兒

《平行四邊形的面積》是小學階段“圖形與幾何”教學中一個承上啟下的重要內容，它上承長方形、正方形面積教學，下接三角形、梯形面積教學，一直被廣大一線教師所重視和研究。

一、問題與分析

關于平行四邊形面積計算方法探究環節的教學，常常存在以下幾個問題：

1.方格使用——機械單一。

在引入環節，教師往往會創設平行四邊形與長方形面積大小比較的情境，引導學生用“數方格”的方法去驗證面積相等，并告知學生：不滿一格都按半格計算。由于長方形、正方形面積計算方法是用擺小方塊的方法進行探究的，體現了數學的“度量思想”。將數方格的方法遷移到平行四邊形面積計算方法的探究過程中，自然是合理的。然而，平行四邊形卻不是一個方方正正的圖形，這是它和長方形最本質的區別，占用的格子就不可能都是整格的。此時教師如果僅僅給出“不滿一格都按半格計算”的機械規定，數的過程就顯得十分被動，學生更多關注的只是數的結果，缺乏方法與技巧。甚至還會質疑：不滿一格為什么可以按半格計算？這樣數出來還準確嗎？

這樣的數方格形式單一，又缺乏對學生整體性思維的培養，無疑是低效的。

2.操作探究——暗含指令。

在探究平行四邊形面積計算方法環節，教師常常會提供平行四邊形紙片、剪刀、水彩筆等學具，要求學生以小組活動的形式進行探究并出示活動要求：通過剪一剪、拼一拼，將平行四邊形轉化成長方形；想一想：平行四邊形與拼成的長方形的面積有什么關系？平行四邊形的底、高分別與拼成的長方形的長、寬有什么關系？平行四邊形面積該怎樣計算？

試想，當面對計算平行四邊形面積這一新問題時，學生是自覺想到把平行四邊形剪拼成長方形的嗎？這樣的操作活動，學生更多是按照教師的指令去操作，看似很順利達成目標，但學生的思維卻無法得到深入發展。

3.面積公式——不明所以。

在合作探究平行四邊形面積計算公式時，教師往往發給每個小組同樣的平行四邊形紙片，剪拼推導出這個平行四邊形面積用“底×高”來計算，然后歸納得出平行四邊形面積的計算公式就是“底×高”。這是一個不科學的推理過程，這個平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算，就能斷定所有平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算了嗎？學生頭腦中是會有疑問的。即便教師能追問：“只要沿著其中的一條高剪，所有的平行四邊形一定能拼成長方形，大家說是嗎？”這也只是形式上的不完全歸納，沒有真正引領學生經歷不完全歸納的過程。

這樣的面積公式探究，學生只知其然，卻不知其所以然。

二、改進的策略

1.利用顯性素材，為公式推導奠定基礎。

這里的顯性素材是指教師在課始為每位學生提供的畫有一個平行四邊形的方格紙。蘇教版教材中的例1從比較方格紙上每組中的兩個圖形面積是否相等入手，引導學生把稍復雜的圖形轉化成簡單的、熟悉的圖形，讓學生感受轉化方法在圖形面積計算中的作用，并為進一步的探索活動提供基本思路。例2引導學生通過平移把平行四邊形轉化為長方形。教材一方面突出了平移在轉化過程中的應用，另一方面也鼓勵學生用不同方法實現轉化的目的。例3的重點則放在探索平行四邊形與轉化成的長方形之間的聯系上，從而推導出平行四邊形面積計算方法。值得一提的是，這里的例1、例2的教學都是以方格紙為載體，方格紙作用的發揮也僅僅是數一數驗證一下，這樣就滲透了轉化思想及不同的轉化方法。通過例2的轉化，學生已能初步從方格圖上感悟轉化后平行四邊形與之前長方形之間各部分的關系，為后面進一步探究平行四邊形面積奠定了基礎。

筆者摒棄了教材中“不滿一格按半格計算”的單純數格子的方式，而是引導學生在數的過程中自發產生轉化的需要，為后續發現轉化前后的長方形和平行四邊形的關系埋下伏筆。

【教學片斷一】

師：看來對于這個平行四邊形的面積計算，同學們有兩種不同的方法：7×4=28（cm2）；7×5=35（cm2）。要知道哪一種是正確的，我們可以怎么辦？

生：數一數格子。

師：如果一個小方格的面積是1cm2，你能數出這個平行四邊形的面積是多少平方厘米嗎？并且一邊數一邊把自己是怎么數的表示在方格紙上。

（反饋不同數法）

師：這個平行四邊形的面積是多少？看一下同學們都是怎么數的，誰愿意到上面來介紹一下？

生 1：（如下圖1）我把左邊的三角形分開，移到右邊，這樣都是整格的了，就能一格一格數了，我數出來有28格，所以是28cm2。

生 2：（如下圖2）我也把左邊的三角形補到右邊變成整格的，數了數每行有7格，有4行，所以一共是 4×7=28（cm2）。

生 3：（如下圖3）我是把多出來的這塊直角三角形經過平移直接拼到右邊，這樣平行四邊形就拼成了一個長方形。長方形的長是7cm，寬是4cm，所以面積也是 28（cm2）。

生 4：（如下圖4）我是沿著中間分開，把右邊的梯形平移到左邊，也正好拼成長方形，面積也是 7×4=28（cm2）。

圖1

圖2

圖3

圖4

師：這么多種數法，你更喜歡哪一種？說說你的理由。

生5：我更喜歡后面兩位同學的方法，他們其實都是把平行四邊形割補成了長方形，只要計算長方形的面積就可以了，這樣方便。

生6：不過同樣是數，生2的數法更“高級”。

師：你的“高級”是什么意思？

生：她沒有一格一格數，只數了每行的格數和行數，比生1方便些。

師：那同樣是算的方法，生3和生4有什么不一樣呢？

生7：生3是沿著頂點出發的高分開，而生4是沿著中間的高分開。

師：除了這兩種分法，還有其他的分法嗎？你是怎么想的？

生8：我覺得有無數種分法，因為平行四邊形有無數條高。

“并且一邊數一邊把自己是怎么數的表示在方格紙上”的要求把單純的數格子上升為有不同方法的數格子，激發學生將目光從局部轉向整體，促使學生把平行四邊形轉化成長方形后再數，進而發現算一算就可以了，為后續推導面積公式打下重要的基礎。這樣使用方格紙無疑是有效的。

2.妙用生成素材，讓探究過程科學完整。

【教學片斷二】

師：我們已經知道了這個平行四邊形面積的計算方法，那是不是所有的平行四邊形面積都可以用“底×高”來計算呢？

學生有的說可以，有的說不一定。

師：出現了不同的聲音，那接下去我們該怎么辦？

生：用形狀不同的平行四邊形進行驗證。

師：好，請你拿出另一張方格紙。

師：就請你自己在方格紙上畫一個和剛才完全不一樣的平行四邊形，也通過割一割、拼一拼來驗證它的面積是不是也可以用“底×高”來計算。

學生興致盎然，畫著自己心目中的平行四邊形。畫完后組織同桌交流，再全班反饋。

這一環節，學生借助方格紙，創造出了各種形狀的平行四邊形，為進一步理解面積計算公式提供了豐富的素材，并且通過割補都順利轉化成了長方形。從這些豐富的素材中，我們可以感受到，各種平行四邊形面積計算方法的推導已深入學生的心，學生已經完全理解平行四邊形的面積為什么用“底×高”來計算了，而且引領學生經歷了科學的探究過程。這比教師提供給學生不同的平行四邊形紙片進行驗證要有效、有趣得多。

3.補用變式素材，讓公式理解更加全面。

在得出面積計算公式后，筆者又補充了如下兩個平行四邊形素材。其目的有三：其一，由于前面都是以方格圖為載體，但其實練習中、生活中平行四邊形的出現一般并不帶方格。因此，在借助方格探究出面積計算方法后，引導學生想象這兩個平行四邊形沿高剪開后將會轉化成怎樣的長方形是十分必要的。其二，是因為在方格紙上提供或創造的平行四邊形，學生習慣沿著格子線畫高，因此高都是縱向的。這里提出如圖1左右底邊上的高有利于打破學生的思維定勢，況且尋找左右底邊對應的高也是學生面積公式應用的難點。其三，又因為格子圖上畫出的都是水平放置的平行四邊形，割補時只是水平平移，這里給學生提供如圖2可以上下平移轉化的平行四邊形，有助于學生從不同的角度進行轉化。

圖1

圖2

這一組素材的補用，不僅使學生充分理解了面積推導的過程，而且從多角度、多維度的變式中，對計算公式的理解更加完整、全面。

4.活用感悟素材，讓探究難點有效突破。

【教學片斷三】

師：我們已經知道平行四邊形的面積是用“底×高”來計算的，那用“底×鄰邊”的方法為什么就不對了呢？問題究竟在哪兒呢？

（以底12高7鄰邊11的平行四邊形為例）版貼平行四邊形紙片及邊框（如下圖1：分別標出底、鄰邊、高的長度）

師：剛才你們都是把平行四邊形轉化成了長方形，瞧！我也可以把這個平行四邊形拉成長方形（拉成如下圖2），這個長方形的面積不就是長乘寬，也就是底12×鄰邊11嗎？

生1：這個長方形的面積和原來平行四邊形的面積不一樣了？

師：怎么不一樣了？誰愿意到黑板上邊演示邊解釋？

生2：我們可以把這塊多出的三角形拼到左邊，這個平行四邊形轉化成的是這個長方形，而不是老師拉成的長方形（如下圖3）。

生3：這個長方形的面積是用12×7來計算的，老師拉成的長方形面積是12×11。

圖1

圖2

圖3

師：這多出的空白部分面積有多大呢？

生 4：12×（11-7）=48（cm2）。

師：現在你知道平行四邊形面積為什么不能用“底×鄰邊”來計算了嗎？

生5：知道了，底×鄰邊算出來的是拉成的大長方形的面積，而平行四邊形轉化成的是小長方形的面積。

師：請同學們仔細觀察，要是我繼續拉動這個框架（從圖3—圖4—圖5），你又有什么新的發現？（同桌討論）

生6：長方形的框架又變成了平行四邊形，而且面積越來越小了。

師：知道面積為什么會越來越小嗎？

生7：平行四邊形的高越來越短了，所以面積越來越小了。

生8：我發現不管怎么拉，這個框架的周長一直都沒有變。

師：誰聽明白他的意思了？

生9：他的意思是不管面積怎么變，平行四邊形框架四條邊的長度始終是兩條12厘米，兩條11厘米，所以周長一直都沒變。

師：看來拉動平行四邊形框架，面積變了，周長不變。

圖4

圖5

其實，澄清錯誤比建立正確認識更重要。在上述教學中，筆者通過自制學具的動態演示，進一步引導學生發現拉動后的平行四邊形框架面積變了、周長不變。學生在觀察、比較、分析等充滿挑戰性的過程中，獲得了真正的數學理解，發展了推理能力，有效突破了本節課的教學難點。