操作中外顯思維 對比中建構意義
——《倍的認識》教學設計及解讀

設計/周曉輝 解讀/孫惠惠

一、初識倍數關系

教師出示主題圖，讓學生觀察“從圖中獲得了哪些數學信息”。然后引導學生聚焦“黑兔有2只，白兔有4只”這兩條信息并提出問題。最后說明“兩個數量之間除了比多、比少這樣的相差關系外，還有著另一種關系，倍的關系。（板書課題）

【解讀：主題圖中有四條信息，教師引導學生針對其中兩條信息提出問題，直入主題減少不必要的干擾。】

二、認識“2倍關系”

1.描述中初識2倍關系。

教師提問：如果我們把2只黑兔看作1份，白兔有這樣的幾份？

預設：兩份。

師：像這樣我們就說白兔的數量是黑兔的2倍。我們是怎么看出來的呢？

預設：把黑兔看成一份，白兔有這樣的兩份，白兔的數量是黑兔的2倍。

教師出示下圖。問：如果我們用3個紅圓表示蘿卜，青菜該怎么表示呢？

預設：用6個綠圓表示青菜的數量。

師：把3個紅圓看作一份，綠圓的數量是紅圓的幾倍，你能來圈一圈、說一說嗎？

預設：把3個紅圓看成一份，綠圓的數量有這樣的2份，綠圓的數量是紅圓的2倍。

【解讀：教師呈現兩組素材，從實物到抽象圖形，學生通過圈一圈份數，說一說2倍關系的形成過程，初步建立“把某個數量看成一份，另一個數量里有這樣的幾份就是它的幾倍”的概念。這樣切入教學，緊扣學生的認知起點，有利于學生利用舊知識構建新概念。】

2.對比中抽象“2倍關系”模型。

師：我們一起研究后發現，白兔的只數是黑兔的2倍，綠圓的數量是紅圓的2倍。這些圖中的形狀、個數都不一樣，但為什么我們都說第二行的個數是第一行的2倍呢？

教師小結：無論第一行擺幾個，只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份,也就是有2個幾，我們就可以說第二行的數量是第一行的2倍。

3.想象中拓展“2倍關系”模型。

師：如果第一行擺5只蝸牛，第二行該怎么擺？

預設：如果第一行擺5只蝸牛，那么第二行擺10只蝸牛，擺2個5只。

【解讀：教師通過回顧學習過程，將兩組“2倍關系”的素材一一呈現，然后進行對比。通過對比，引導學生發現“2倍關系”的本質，抽象出2倍關系的模型。通過想象模型中每一份的數量，讓學生體會到標準量的數量可以是多種情況，這樣既幫助學生建立起了“2倍關系”的基本模型，又豐富了模型的內涵。】

三、認識“幾倍關系”

1.猜想中初步建立“幾倍關系”表象。

師：如果第二行再增加同樣多的一份，第二行是第一行的幾倍？再增加一份呢？第二行有5個這樣的圈呢？

2.在操作中表征“幾倍關系”圖式。

師：同學們想不想動手擺一擺？和你的同桌商量一下你們打算擺幾倍關系？

教師出示操作要求：

（1）擺兩行，能清楚看出其中一行是另一行的幾倍。

（2）擺完后同桌說一說：（）的數量是（）的___倍。

預設：學生對幾倍的表征各種各樣。從圖式的形式上來說，可能是“倍數關系”的基本圖式，也可能是基本圖式的變式（如下圖）。從“倍數關系”來說可能會擺出“一個數量是另一個數量的任何倍”。

3.交流中理解“幾倍關系”的含義。

（1）以小組為單位介紹基本的3倍、4倍模型圖。（見下圖）

師：請說一說你們擺的是幾倍關系？是怎么想的？

生：把兩個綠圓看成一份，黃圓的數量有這樣的3份，黃圓的數量是綠圓的3倍。

（4倍關系的解說略）

（2）集體解讀“幾倍關系”變式圖。

師：你們還能判斷出下圖他們之間的倍數關系嗎？（根據學生的回答引導：重點突出圈一圈的辦法能夠幫助我們看清倍數關系）

【解讀：學生在“擺幾倍關系”的活動中，將自己頭腦中對“倍數關系”的表征“擺”出來。教師再根據學生擺的結果，引導學生從“基本的倍數關系模型”到“模型的變式”逐層解讀，既把“倍”的認識從“2倍關系”擴展到“幾倍關系”，又豐富了學生頭腦中倍數關系的表征。】

4.溝通中明確“倍數模型”和“乘法模型”的關系。

師：我們已經擺出了那么多“倍數關系”，讓我們從數量上仔細觀察，如果一份是2，以2個為標準去數一數，第二行是幾個幾呢？

預設：3個2（板書：3個2，是2的3倍）

完成板書如下：

師：這幅作品你能從數量上來介紹嗎？

預設：第一行擺2個，第二行擺這樣的4份，就是4個2，所以第二行的數量是第一行的4倍。（板書：4個2，2的4倍。）

【解讀：學生對“幾倍關系”的理解停留在“份數”模型上，即“把一個數量看成一份，另一個數量里面有這樣的幾份，就是它的幾倍”。通過引導學生從“數量”上觀察所有的“倍數關系”圖式，發現以a為標準去數，剛剛圈出幾份，就有幾個a，也就是a的幾倍。將“幾倍關系”從具體的圖式表征抽象到數字符號表征，而且將“倍”的意義由“份數”模型過渡到“幾個幾”的乘法模型。】

5.對比中抽象“3倍關系”的模型。

師：剛才我們通過擺一擺、圈一圈已經發現了這幾位同學擺的都是3倍關系，怎么擺就能擺出兩行之間的3倍關系呢？

教師總結：先擺一份，再擺這樣的3份，也就是擺3個幾，就能擺出兩行之間的3倍關系。

【解讀：將“3倍關系”的圖式一并呈現，通過對比發現“3倍關系”的本質屬性。】

6.游戲中鞏固“乘法模型”與“倍數模型”的聯系。

（1）猜一猜游戲。教師描述學生擺：第一行擺2個，第二行擺4個2，學生猜一猜誰是誰的幾倍，并圈一圈進行驗證。

（2）拍手游戲。要求：教師拍4下，請學生拍的數量是教師的兩倍，并說一說怎么聽出來拍的數量是教師的2倍。

【解讀：通過兩個游戲，讓學生“聽描述”想“幾倍關系”的表征形式，促進學生能脫離“幾份”模型直接由“幾個幾”想到“幾倍關系”。】

7.對比中抽象“倍數關系”模型。

師：剛才我們通過游戲已經認識了一個數量是另一個數量的幾倍，只要怎么擺就一定能擺出一行是另一行的幾倍呢？

預設：我們只要先確定一行的數量，把它看成一份，另一行擺幾個這樣的數量，也就是擺幾個幾，就能擺出另一行是這一行的幾倍了。

【解讀：引導學生對比“幾倍關系”的圖式，借助對“2倍關系”和“3倍關系”本質屬性的理解，抽象出“幾倍關系”的本質屬性，從而完成對“倍”的意義完整的建構。】

四、分層練習中凸顯“標準量”的重要性

1.填一填：教師出示上圖，學生嘗試填，發現無法表示倍數關系，體會到“倍是兩個數量之間的關系”。

2.畫一畫：先猜三角形可能是幾個，然后請學生畫出自己猜的個數。

3.比一比：集體反饋教師引導學生觀察4種情況（三角形為1個、2個、3個和6個），體會同樣都是6個圓，標準量不同倍數也會發生變化。

4.辨一辨：教師出示學生的兩個錯例。第一個錯例是畫錯標準量的，通過辨析使學生清楚，標準量必須是6的因數；第二個錯例是把圓的數量當成標準量的，通過辨析學生感悟到“找倍數關系的時候，一定要找準誰和誰比，把誰看成標準。

5.拓展到三個量進行比較。

教師在上一題的基礎上添加一行長方形，讓學生從中找一找誰是誰的幾倍。

【解讀：通過“填”“畫”“比”“辨”四個活動，讓學生體會到“倍”描述的是兩種數量之間的關系，感悟到“比較量相同的時候，標準量不同，倍數也會不同”，明白“把誰看成標準量”的重要性。習題設計層次性強，涵蓋學生易錯點，學生在不斷修正錯誤中感悟描述“倍數關系”的注意點。】

五、課堂小結

今天研究的是兩個數之間的另一種關系，我們把一個數量看成一份，另一個數量有幾個幾，我們就可以說，另一個數量是它的幾倍。

【解讀：1.操作中外顯思維，豐富學生頭腦中“倍”的表象。操作、展示等活動，都能讓學生將自己的思維得以展現。本課在認識“2倍關系”之后，教師安排了“擺幾倍關系”的操作活動。通過“擺”這一操作活動，讓學生將自己頭腦中“幾倍關系”的表征外顯在紙上。從教學設計中可以看到，學生擺的關于“幾倍關系”的表征，涵蓋了“倍數關系”的基本圖式和變化圖式。豐富的可視化表征有助于學生打破思維定勢，完整地建構“倍”的直觀模型和意義，也為后面繼續學習“一個數的幾倍是多少”等問題打好基礎。

2.在對比中建構、逐步抽象出“倍”的概念本質。“對比”是一種很好的揭示概念屬性的方法。本節課，為了引導學生主動建構“倍”的意義，周老師在四個地方有效運用了這一方法。三次對比分別是“2倍關系圖式對比”“3倍關系圖式對比”和“幾倍關系圖式對比”，學生從“初步感知有這樣的2份就是幾的2倍”到認識“3份就是3個幾，就是幾的3倍”再到明白“幾個幾就是幾的幾倍”，逐步抽象出“確定一個數量為標準，另一個數量里有幾個幾，就是它的幾倍”，也就是“倍”的本質屬性。這個過程中，學生思維的抽象程度越來越高，要求也越來越高。第四次對比，在“分層練習畫標準量”之后，通過對學生所有作品的對比，學生感悟到“標準量變化引起倍數變化”，對“倍”的概念作了有益補充。】

（本文作者系朱樂平數學名師工作站“一課研究”組成員）