引導學生從感性認識走向理性認識
——《長方形再認識》教學思考與解讀

邵愛珠

圖形的認識是“圖形與幾何”部分的主要內容之一，主要包括空間和平面基本圖形的認識這兩個部分。基于學生不同年齡段對于空間感知力和認知力的強弱，很多圖形的認識都是分階段循環編排的，那么“再認識”與“初步認識”有什么不同？又該如何進行“再認識”教學呢？這是值得我們深入思考與探究的。據現有的資料顯示，國內現行的幾套教材在“圖形的再認識”時，都不約而同地選擇以“長方形”作為研究對象，下面就以《長方形再認識》的教學為例，談一些自己的思考。

一、如何理解長方形的“再認識”

1.通覽教材編排之序。

以人教版為例，從整體編排序列看，長方形的“初步認識”放在一年級下冊《認識圖形（二）》，這里第一次出現長方形、正方形等平面圖形，要求能直觀辨認，也就是能通過整體輪廓辨認長方形或正方形，在這個階段只要讓學生直觀判斷就可以，一般不要求學生判斷后說明理由。長方形的“再認識”則安排在三年級上冊教學四邊形的認識后，教學長方形和正方形的特征，要求由表象探索實質，通過探究發現、歸納出特征：“長方形的兩組對邊相等，四個角都是直角”，并能根據特征進行判斷。

2.深究學生發展之理。

長方形再認識是基于第一次初步認識之上進行的，那么知識的增長點在哪呢？荷蘭學者范希爾夫婦將幾何思維水平劃分為五個層次：視覺水平、分析水平、非形式化演繹、形式演繹水平、嚴密性水平。由此來看，“初步認識”基本屬于“視覺水平”，直觀辨認即可；通過“再認識”，引領學生對長方形、正方形要走向“分析水平”的認識，僅憑看到的信息是不夠的，需要分析和推理，建立明確的概念特征，以便作為判斷的基礎，對圖形的認識由表象提升到了圖形本質。

3.細品教學目標之度。

《數學課程標準》指出：圖形認識的內容安排體現了從生活到數學、從直觀到抽象、從整體到局部的特點，目標要求循序漸進、逐漸提高。遵循這樣的要求，對于不同年級的教學目標也有不同的設定。從圖形之間的關系來看，在“初步認識”階段，只要理解長方形和正方形是兩個并列關系的概念，而“再認識”時，則需要理解正方形是特殊的長方形，也就是兩者之間是從屬關系。

二、長方形再認識如何教學

1.喚醒舊知，追問中揭示新課目標。

【教學片斷一】

出示一組平面圖形：

提問：這些圖形有什么共同特征？（都有四條邊四個角）請從圖中找出長方形或正方形。

師：我們以前就已經認識了長方形和正方形，今天還要繼續研究。那么你想研究長方形和正方形的什么知識呢？

提示：已經知道長方形（或正方形）有四條邊四個角，進一步可以思考的問題是：“邊”還有什么特點？“角”還有什么特點？

長方形的再認識是建立在初步認識基礎上的，從一些四邊形中找出長方形或正方形，這對學生來說并不困難，一方面喚醒他們原有對長、正方形直觀判斷的經驗，另一方面幫助他們回憶四邊形的特征，得到“四條邊、四個角”，引導學生明確研究圖形的思路，可以從“邊”與“角”去考慮。

美國認知教育心理學家奧蘇貝爾認為：要完成有意義的學習，必須具備的條件是學習材料本身具有邏輯意義，學習者認知結構中具備適當的知識基礎。因此教學一開始的設計，通過對已有知識的回顧與追問，提出了新課的目標，也讓學生初步感知長方形、正方形與四邊形之間的從屬關系，為后續教學的展開做知識上的準備。

2.動手操作，探究中發現圖形特征。

【教學片斷二】

（1）為每位學生提供一個長方形和一個正方形，并提供三角尺等工具。

請學生選擇一個圖形，用自己的方式探索圖形的特點。（教師巡視，并個別輔導）

（2）以四人小組為單位，交流各自的發現。

（3）反饋交流：

①對長方形“邊”的特征的研究：有什么新的發現？

通過量一量、折一折的辦法驗證長方形兩組對邊分別相等。

②對長方形的“角”有什么新的發現？

用三角尺上的直角比一比，驗證四個角是否是直角。

三年級開始，學生對圖形的認識從“直觀辨認水平”發展為“依據特征的初級概念判斷水平”，因此長方形再認識的教學要突出圖形特征的研究。

在探究長方形“邊”的特征時，學生主要通過兩種方法操作：一是度量，二是對折。度量當然是好方法，通過量一量，能清晰的看到兩組對邊分別相等，但是度量的誤差不可避免。對折的方法學生并不陌生，憑借已有的折紙經驗，能自然想到用折一折的方法。對折是“幾何變換”（實際是對稱變換），運用幾何變換的方法來認識，是以后學習其他圖形特征的重要思想方法。

探究“邊”的特征用了這兩種方法，“角”的特征研究也經歷了這兩種方法。雖然學生還不會用量角器度量長方形的角，但借助三角板上的“直角”也能度量角的大小（大于、小于或等于直角）。通過比一比，學生發現：長方形的四個角都是直角。當然也可以通過折一折的方法，發現四個角都相等，都是直角。

3.分類嘗試，遷移中滲透研究方法。

【教學片斷三】

（1）梳理探究方法：回想一下剛才的探究過程，我們是怎么研究長方形特征的？

小結：我們對一個圖形特征的研究，是從角與邊這兩個方面來進行的，通過量一量、折一折、比一比等活動，我們發現長方形邊的特征：有四條邊，形成兩組對邊，這兩組對邊分別相等；有四個角，四個角都相等，四個都是直角。

（2）用上面歸納出來的研究方法再次研究正方形。

（3）請學生介紹：對正方形有什么新的發現？

重點指導：從角與邊兩個方面研究，在折一折的過程中，不僅需要上下對折、左右對折，還需要引導學生沿對角線對折，從而發現：正方形不僅對邊長度相等，而且鄰邊的長度也相等。

（4）梳理小結：通過驗證我們發現正方形四條邊一樣長，有四個直角。

再認識的教學，除了對知識點的提升，還應在思想方法上有增量。因此，在這一環節完成后，要及時梳理探究的方法：是怎么研究長方形的特征的？這里，除了要歸納出從角與邊兩個維度去研究（包括角的數量、角的大小、角與角之間的關系；邊的數量、邊的長短、邊與邊之間的關系），還要滲透從一般到特殊的研究意識，為后續圖形認識積累研究經驗。

縱觀每一套教材，在長方形、正方形再認識時，都設計了類似數一數、量一量、折一折等操作活動，意圖是讓學生經歷從具體形象操作中感悟圖形特征的過程。因此教學中，要給學生充分的探索時間和空間，在自主探索、動手操作、交流討論中發現圖形的特征，提煉研究方法。

4.多維比較，辨析中凸顯判斷依據。

【教學片斷四】

（1）辨一辨：下面圖形是長方形或正方形嗎？為什么？

圖1

圖2

圖3

圖4

先獨立判斷，再四人小組討論交流，之后全班交流。

追問：①圖1看上去斜斜的，為什么是長方形？

②圖2也有兩組對邊相等，為什么不是長方形？

③圖3有兩個直角，為什么不是長方形？

④圖4的四條邊都相等，為什么也不是正方形？

（2）分析比較后，小結得出：

在判斷圖形時，不能僅憑觀察就下結論，需要根據長方形或正方形的特征來判斷；另一方面只關注“邊”的特征或者“角”的特征，也不能準確判定是什么圖形，而是需要同時從“邊”和“角”兩個維度去關注圖形特征。

這里呈現的四個圖形各有特點：圖1是不在水平位置上的長方形、圖2兩組對邊相等、圖3有兩個直角、圖4四邊都相等。對學生來說，這些圖形邊與角的特征都非常具有迷惑性。通過比較、辨析，使學生清晰：學習了今天的知識以后，判斷一個圖形是不是長方形（或正方形），就要用特征來說理，而不是只憑“看看”；要判定一個圖形是不是長方形（或正方形），要同時關注“邊”和“角”的特征，也就是要說明它符合長方形或正方形的所有特征，而說它不是，則只要舉出一個不符合特征的地方即可。

我們在梳理教材時不難發現，教材中所提供的例子往往都是“標準式”的，如果是幾何圖形，那么其中一條邊基本都在水平位置，這樣安排有利于對概念的正面建構。因為學生必然要先接觸標準的例子才能更好地為建構概念服務。但如果我們止步于此，為學生提供的素材都是標準式的話，學生對概念理解難免出現片面性。利用變式圖形，可以使學生透過現象看本質，排除非本質屬性的干擾，抓住圖形本質屬性進行判斷，更好的掌握圖形的概念。

5.運動聯結，思辨中感悟圖形聯系。

【教學片斷五】

（1）信封里裝的是四邊形，猜一猜可能是什么形狀的？說說你是怎么判斷的？

提示學生需要用圖形的特征、有理有據進行判斷。

如：這個四邊形已經有兩個直角，如果還有兩個直角，那么這個四邊形就是長方形；

如果這個長方形繼續往外拉，當四條邊都相等時，就變成了正方形；當然繼續往外拉，又變成了長方形。

（2）用16根同樣的小棒擺一個長方形，你有哪些擺法？

①學生在獨立思考、動手操作基礎上，全班交流、整理得到所有擺法：

長邊擺7根，寬邊1根；

長邊擺6根，寬邊2根；

長邊擺5根，寬邊3根；

每邊擺4根。

②觀察發現：用16根同樣的小棒擺一個長方形，有四種不同的擺法，其中長邊和寬邊都擺4根時，就變成了正方形。因此，可以說：正方形是特殊的長方形。

這兩題都是基于長方形特征設計的練習：

猜信封里的圖形，要求學生能利用特征進行圖形辨析。一方面能用規范的數學語言描述、判斷圖形，進一步鞏固長方形的特征；另一方面將信封里的長方形往外拉的過程中，使學生感悟到：當長方形的長邊與寬邊相等時，這個長方形也就是正方形；繼續往外拉，又變成了長方形。設計的意圖是通過運動，在猜想、驗證的過程中感悟長方形與正方形之間的聯系。

用16根小棒擺長方形，是一道開放題，既是對長方形特征的鞏固、同時滲透了變與不變的函數思想，也為后續長方形周長計算做知識上的準備。

在學生已有的知識經驗中，圖形都是孤立地、并列地呈現的，通過這節課的研究與學習，從四邊形的邊、角特征出發，探究長方形、正方形“邊”與“角”的特征，經歷從概念的角度分析圖形的過程，體會數學的邏輯性；同時還要教學長方形與正方形之間的關系，要從直觀認識階段的“并列關系”到現在再認識階段的“包含關系”，這是學生認識上的進一步發展。

（本文作者系朱樂平數學名師工作站“一課研究”組成員）