踐行有序思維培養探究能力
——以浙教版“組合圖形面積練習課”的一道習題為例

林

【教學內容】

浙教版五年級上冊第76、77頁組合圖形面積練習2第1題。

【教學過程】

一、獨立嘗試

1.下圖中，四邊形ABCG和CDEF都是正方形，它們的邊長分別是8厘米和6厘米。在這個圖中作三角形，要求選擇正方形的三個頂點，構造出不同的三角形，并分別計算出它們的面積。

2.找出面積相等的三角形，將序號按面積分類。

面積是（ ）平方厘米的是（ ）。

3.嘗試將所畫出的三角形分類，并寫出分類標準。

（）歸為一類，原因是（ ）。

【設計意圖：教師通常會把這道題只當作三角形面積計算練習，學生能正確計算所畫三角形的面積就結束了。本節課的設計中，把這個環節放到課前，讓學生充分地去畫和算各種不同的三角形。學生水平各異，畫的個數也不盡相同，但無論畫出幾個，都要讓學生觀察、整理，找到分類的依據。】

二、討論探究

1.分類標準。

教師引導：同學們昨天都畫了一些三角形，如果要給這些三角形分類，你打算怎么分？

（按面積、按三角形角和邊的類型、按三角形在正方形里面還是正方形外面、按三角形在一個正方形里面還是橫跨兩個正方形……）

師生交流后再次引導：我們主要研究面積相等的這種分法。大家想一想，底和高都相等的三角形面積一定相等嗎？如果三角形的面積相等，那么它們的底和高是不是一定相等？

【設計意圖：分類的標準見仁見智。在學生發言的基礎上，聚焦“面積相等”的分類方案，將面積相等的三角形的各種形態作比較和研究，找到底和高的共同之處，幫助學生理解“等底等高的三角形面積相等”這一規律。】

2.分類整理。

通過討論，我們已經知道了三角形底和高都相等的三角形面積一定相等，請找一找面積是24平方厘米的三角形有哪些？

小組交流：

（1）匯總：面積是24平方厘米的三角形。

（2）整理：整理匯總的三角形，找出一定的規律。

匯報情況預設：

（3）想一想，怎樣去找不重復不遺漏？

【設計意圖：選取面積是24平方厘米的三角形作為例題研究，讓學生觀察這些三角形的底和高，以及圖形相互之間的聯系，找到有序思考的方法：固定一條底邊，再分別找符合條件的頂點構成三角形。】

3.用這樣的方法，你還能整理出其它面積的三角形嗎？

小組合作：

（1）連接三個頂點所畫的三角形有哪幾種不同的面積？

（2）小組成員分工，分類研究。

（3）匯總交流，看看其他成員是否有補充。

（4）準備匯報，怎樣讓別的小組明白你們思考的方法？

匯報情況預設：

面積是6平方厘米：

面積是8平方厘米：

面積是18平方厘米：

面積是32平方厘米：

（如果沒有這種情況就到后面處理）

面積是42平方厘米：

面積56平方厘米：

4.下面這些三角形的面積怎么計算？你有哪些不同的方法？

轉化成等底等高的三角形再計算面積，總面積-空白部分面積=陰影部分面積。

【設計意圖：例題講解結束后，讓學生分組研究其他的三角形，希望能通過集體的力量，彌補個人在課前思考的不足，在交流協作中每個人的認知都進一步得到拓展和提升——特別是ΔACE、ΔBGE、ΔADF等，其底和高不在正方形邊上，需要轉化后求取面積。學習能力稍弱的學生可以借機了解和掌握求陰影部分面積的更多方法。】

三、延伸拓展

教師引導：我們按面積分類，畫了那么多三角形，是不是所有的可能都畫完了呢？究竟連接正方形的三個頂點，可以構造的不同的三角形一共有多少個呢？

討論：七個頂點連接其中的三個，有多少種可能？

生：7×6×5=210（個）。

生：有重復，210÷6=35（個）。

師：有沒有連接后，不能形成三角形的呢？

生：頂點在同一直線上的不可以。B、C、D和G、F、C就不能組成三角形。35-2=33（個）。

師：和我們剛才畫圖的方法比照一下，你有什么發現？

確定字母 A、B，分別連接 C、D、E、F、G；

確定字母 A、C，分別連接 D、E、F、G；

確定字母 A、D，分別連接E、F、G；

確定字母A、E，分別連接F、G；

確定字母A、F，連接G；

然后確定字母 B、C，分別連接 D、E、F、G；

然后確定字母B、D，分別連接E、F、G；

……

【設計意圖：本課結尾，簡單講講用組合的方法推算一共可以組成多少個三角形。與前面的枚舉形成呼應和對照。展示同一個數學問題，可以從不同角度去思考，不同的思考過程有不同的思維體驗和知識應用，培養良好的數學觀。】

四、課后探究

如果在圖中連接四個頂點組成四邊形，有多少個不同的四邊形？你能把它們分一下類嗎？能求它們的面積嗎？有興趣的同學可以去試一試，也可以組成小隊一起去挑戰一下！

【設計意圖：為學有余力的學生提供素材，使之能夠運用本課所學知識，去解決更多的變式問題。】

【教學反思】

該教學內容是浙教版五年級上冊第76、77頁組合圖形面積練習課中的一道習題。在教學中，教師從引導學生找“面積是24平方厘米”的三角形的底和高入手，先構建出“同底等高面積相等”的三角形，進而引導構建出“等底等高面積相等”的三角形，讓學生充分感知三角形面積相等的規律。通過整理發現：有部分三角形并不能直接利用等底等高計算面積，引導學生通過等積變形轉換成等底等高的三角形以求出面積，真正將“等底等高三角形面積相等”這個知識點做實，做活。在學生自主研究的基礎上，教師緊緊抓住“有序思考”進行點評和深化，啟發學生先固定一條邊，然后去找符合要求的頂點，構建三角形，重點體會如何能不重復不遺漏地將完整的方案展現出來。在課的延伸拓展部分，教師再設一問——“構造的不同的三角形一共有多少個？”掀起一個新的思考高潮，引導學生從另一個角度去思考問題，用排列組合的方法求出符合要求的三角形個數。有序枚舉的方法和組合排列的方法既可以說是不同的思維方法，又可以相互解釋（排列組合是對有序枚舉的進一步概括），為學有余力的學生提供了研究空間。

看似一道普通的求三角形面積的練習題，其思維訓練的內涵卻很廣泛。教師以題目為載體，鼓勵學生自主探究、合作交流，充分體驗分類、轉化、有序、抽象等思想方法在具體情境中的應用，大大提升了學生的學習品質和思維品質。