《釘子板上的多邊形》教學

王學紅

【教學內容】

蘇教版第九冊第108～109頁《釘子板上的多邊形》。

【教學過程】

一、回顧舊知，激活經驗

談話：同學們，我們已經學會了一些圖形的面積計算。這些多邊形的面積你會計算嗎？需要知道哪些條件？

出示：

師：看來計算多邊形面積要知道邊的長度。

計算：（補充數據）學生口答多邊形的面積。

【設計意圖：課始通過出示這4個多邊形，喚醒學生研究多邊形面積的經驗。通過補充邊的長度并計算面積，不僅回顧了計算多邊形面積的常用方法，更重要的是引領學生發現常用的方法都是通過“邊的長度”這一途徑的。】

二、另辟蹊徑，探索規律

1.明確探索路徑。

激疑：換個角度，不通過邊的長度來計算多邊形的面積，是否還有別的方法呢？

播放微視頻，介紹皮克定理：1899年，奧地利的數學家皮克發現了計算多邊形面積的另一條路徑。他將多邊形放到格點中研究，發現多邊形面積與多邊形邊上釘子數、邊內釘子數之間的規律，并進行了證明。這個規律被稱為“皮克定理”，被譽為史上“最重要的100個定理”之一。

揭題：多邊形面積與多邊形邊上釘子數、邊內釘子數到底有什么關系呢？今天這節課就讓我們共同來探索這其中的奧秘吧！（板書：邊內釘子數、邊上釘子數、多邊形面積）

2.自主探索內部只有1枚釘子的多邊形。

（1）觀察猜想。

師：（在原來的圖形下出現釘子板）還以剛才的4個圖形為例，換個角度思考，你能從中發現什么？獨立完成1號研究單。

我發現：（）

（2）自主驗證。

師：這個發現對不對呢？怎么辦？自己再舉幾個這樣的例子驗證驗證！為了研究的方便，我們把釘子板換成點子圖。請同學們在點子圖中再畫幾個這樣的多邊形，數一數，算一算。

（學生驗證交流）

預設一：學生畫出的是邊內只有1枚釘子的圖形，驗證成立。

預設二：學生畫出的圖形不符合規律，驗證不了。

觀察比較：（對比兩種情況）這是為什么呢？

完善規律：邊內只有1枚釘子時，多邊形面積等于邊上釘子數除以2。

（3）符號表達。

師：如果用S表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數，這個規律可以用字母怎么表達？用字母表達感覺怎么樣？

3.分組探究內部有0枚、2枚、3枚、4枚……情況。

過渡：多邊形內不是1枚釘子又會有什么規律呢？想試一試嗎？小組商量一下，你們想研究哪種情況？

（1）小組合作，探索規律。（完成2號研究單）

合作要求：①畫一畫：每人畫一個內有（）枚釘子的多邊形。

②填一填：算出多邊形面積，數出邊上釘子數，完成表格。

③說一說：觀察分析，你能從中發現什么共同之處？

④試一試：再舉幾個例子試一試，是否符合這一規律？

邊上釘子數（枚）　多邊形面積（平方厘米）邊內有（）枚釘子。2　3　4 3.5

我發現：（）

（2）大組交流，合成規律。

師：要讓自己變聰明，首先，我們要學會由一個想到許多個。例如我們由內部只有1枚釘子，想到了0枚、2枚、3枚、4枚……我們還要學會把許多個變成一個。

（學生分組匯報的過程中比較）這些看似不同的規律之間有聯系嗎？

邊內的釘子數（枚）　邊上釘子數（枚）　多邊形面積（平方厘米）0 n S=n÷2-1 1 n S=n÷2 2 n S=n÷2+1 3 S=n÷2+2 4 n S=n÷2+3 a n n

師：“換個角度，就有新路”。要求多邊形的面積，現在我們又多了一個途徑。只要知道——？如果用a表示邊內的釘子數，這個多邊形面積S可以怎么表示？

4.應用規律，體會價值。

運用格點法計算海安七星湖的占地面積，體會其實際應用的價值。

【設計意圖：上述四個活動，是本課的“重頭戲”，圍繞三個問題展開教學：“多邊形面積計算的另一條路徑在哪里?”“這條路徑是什么？”“這一規律有什么用？”由簡單到復雜，由一般到概括，環環相扣，螺旋上升，讓學生在智力沖浪中發展規律。當然，作為探索規律的活動，注重的不僅是結論的得出，更重要的是過程的經歷，經驗的積累，以及“觀察比較——猜想驗證——得出結論”的科學研究方法的感悟。】

三、總結提煉，深化理解

提問：回顧本課探索和發現規律的過程，你有哪些收獲？

小結：通過今天的學習，我們知道多邊形面積的計算不僅可以通過邊的長度來計算，還可以通過邊內、邊上的釘子數來計算。這兩種方法之間其實是相通的。將來同學們學的數學知識越來越多，就會明白其中的道理了。

四、拓展延伸，升華主題

【設計意圖：學生在課堂中運用不完全歸納法探索出規律，為研究多邊形面積又打開了一條新的路徑。從這一角度看，本課的學習價值更加重在對學生進行思維拓展啟迪，用八個字來概括，就是“換個思路，就有新路”。課尾微視頻的播放，讓學生回顧不僅在形的世界里，在數的世界里也有這樣的例子。從而讓學生真正感受的“換個角度，就有新路”的神奇魅力！綜觀整節課的教學，力求讓學生在規律之外感受到探索過程中獲得的方法，及其規律背后蘊含的思想價值。】