精于“數” 簡于“形”
——《數形結合》教學設計與建議

王立松　李翠珍

【教學內容】

人教版六年級上冊第107頁例2，練習二十二第5題、第8題。

【教學過程】

一、以數引形——由復習到引入

1.出示算式：1+3+5+7=（）

師：這是我們非常熟悉的10以內的奇數連加，它的結果是多少？

生：16。

師：你真棒！你是怎么算的？

生：首尾相加，即8×2=16。

師：想法真好！那1+3+5+7+9+11+13=（）呢？

生：49，我是找出這些數的平均數，即7×7=49。

師：是的，我們用已學知識很快就能算出它們的和，不過今天我們要換一個角度來求它們的和。猜猜看是什么角度？

生：從圖形的角度。

師：是的，今天我們就來從圖形的角度研究——數與形。（板書：數與形）

二、借形解數——由圖形到直觀

出示例1：

圖1　

圖2　

圖3　

師：我們一起來看看圖2和圖3各有多少個像圖1這樣的小正方形？

生：圖2中有4個圖1這樣的小正方形；圖3中有9個圖1這樣的小正方形。

師：同學們動動腦筋想想，你能用算式表示出每個圖中小正方形的個數嗎？

生：圖1:1×1=1，圖2:2×2=4， 圖 3:3×3=9。

師：觀察這幾個圖形與計算出的得數（1,4,9），你有什么發現？

學生回答教師動手操作（擺不同顏色的小正方形）

師：如果我們把剛才同學們表示圖中小正方形個數而列出的不同算式綜合起來，會是什么樣的呢？

（學生說教師板書）

生：1=1×1

1+3=2×2=4

1+3+5=3×3=9

教師板書：1=12

1+3=22

1+3+5=32

師：在這里“形”能直觀解釋“數”的計算，同學們想一想按照這樣的規律，“圖4”會是什么樣子？有幾個這樣的小正方形？

（小組合作，操作、觀察、思考）

師：觀察例1中的這些圖形和算式，你有什么發現？

生1：大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形圖形所包含的小正方形個數之和正好是每行或每列小正方形個數的平方。

生2：左邊加法算式里的加數都是奇數。

生3：有幾個加數相加，和就是幾的平方。

生4：第幾個圖形就有幾個數相加，和就是幾的平方。

師：根據同學們的發現，想一想，第10個圖形中有多少個小正方形？第100個圖中呢？

（學生匯報）

教師小結：同學們非常善于觀察和思考，學習中我們利用計算求出了圖形中小正方形的個數，反過來直觀圖形也更好地幫助我們理解了計算中各數的含義。

三、由數解形——由抽象到具體

1.出示圖 4：

師：仔細觀察圖4，你有什么發現？

圖4　

生1：我發現分子都是1，分母都是偶數，并且后面數是前面的2倍。

生2：這些數分別把圓平均分成2份、4份、8份、16份……每一份是前一份的。

師：圖中的省略號表示什么？

生：是按生2講的規律分下去，有無數個。

師：猜猜看它們的和是幾？為什么？

師：這道題等于幾？你是怎樣計算的？

師：這道題就是利用了數形結合思想。數的問題可以用形來幫助解決，形的問題也可以用數來幫助解決。通過圖我們發現結果無限接近“1”，像這樣無限接近“1”，它的得數我們就寫作“1”。

四、數形結合——由繁雜到簡單

1.出示“做一做”第1題。

1+3+5+7+5+3+1=（）

1+3+5+7+9+11+13+11+7+5+3+1=（）

師：請同學們仔細觀察比較一下，這些題與我們剛學的例1有什么異同點？你怎么解決呢？

生：這是和前面不一樣，它是一道組合題，只要將1+3+5+7+5+3+1分成（1+3+5+7）+（5+3+1）=42+32=25。

2.出示：7+9+11+13+15+17=（）

師：這道題又該怎樣解決呢？

生：可以利用減法算，7+9+11+13+15+17=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（1+3+5）=92-32=72。

師：你的思維非常縝密！

3.出示“做一做 2”：

下面每個圖形中各有多少個淺色小正方形和多少個深色小正方形？

淺色：1234

深色：8101214

照這樣接著畫下去，第6個圖形有多少個淺色小正方形和多少個深色小正方形？第10個圖形呢？第n個圖形呢？

生：第6個圖形淺色是6個，深色是18個；第10個圖形淺色是10個，深色是26個；第n個圖形淺色是n個，深色是2n+6個。

4.出示“練習二十二”第2題。

請你根據上面圖形與數的規律接著畫一畫，填一填。

師：請同學們仔細觀察圖小圓片和對應的數，你有發現什么規律？

生1：第一行1個，第二行2個，第三行3個，第四行4個。

生2：第2個圖形比第1個多2個，第3個圖形比第2個多3個，第4個比第3個多4個。

師：那要算出圖中有多少個小圓片應該怎樣列式呢？

生：可以用1+2+3+4=10。

師：如果不畫，按照這樣排列規律，第10個圖形有多少個小圓片？怎么列式？

生：只要算出連續自然數的和就可以了，列式為1+2+3+4+…+10=55。

師：那你能找出第n個圖形的規律嗎？

生：1+2+3+4+ … +n=n×（n+1）÷2。

五、數形延伸——由課本到生活

師：這節課我們一起研究了“數與形”，你們能用今天所學知識解決我們生活中的問題嗎？（家庭作業）

出示“長宴桌”：

8人12人16人

想一想，這樣的10張桌子連在一起，一共可以坐多少人？