立足學情讓學生的思維更通透
——對《求一個數的幾分之幾是多少》的教學思考

劉敏

立足學情是上好一堂課的前提和關鍵，也是發展學生思維能力的重要保證。數學教學離不開學生的思維參與，數學思維作為學生在數學學習與問題解決過程中不可缺少的思維形式，是利用數學語言和符號為思維的載體對數學事物進行認識與發現的心理過程。從學生的學習起點出發，遵循學生的認知發展規律，整體把握教材，使數學學習更加適應學生的需要；基于學生的生活經驗和思維方式，讓學生理解并形成數學思維，促進自我的數學建構，越來越成為廣大教師的共識。我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，也即能夠逐步學會想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。

現結合蘇教版六年級上冊教材《求一個數的幾分之幾是多少》的教學，談談自己的體會。

一、拓寬“思”的路徑，感悟“思”的意趣，實現思維的靈動和暢達

1.把握教材和學情，尋求教學切入點。

《求一個數的幾分之幾是多少》的實際問題分兩課時教學，第一課時進一步完善對分數乘法意義的理解，提高正確計算相關分數式題的能力。在三年級下冊，學生已經學會了根據分數的意義，用“歸一”的思路求一個數的幾分之幾是多少的實際問題，這里的第二次教學，是讓學生理解可以直接用乘法計算，擴展對分數乘法意義的理解，溝通兩種解法之間的聯系，加深對數量關系的理解。

從以往的教學經歷和對學生的訪談中得知，在教學的初始階段，有些學生對求一個數的幾分之幾是多少用乘法計算并不認同。受“歸一”思路的影響，先求每份數，再求幾份數，潛意識里認為用除法計算合理。還有一個重要原因是“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”也有類似的運算形式。如：都是先除后乘，區別在于單位“1”量的已知與未知，一個先除以分母再乘分子，一個先除以分子再乘分母。通過教師引導和學生的討論，他們最終明白了這樣算的原因。“哦，原來是這樣”。

分數具有份數、商、測量、運算以及比等不同層次的意義，學生對分數意義不同表征的理解，直接影響對分數問題的解決。學生用原有分數知識中的圖式去解決新問題時，會出現認知上的困惑和錯覺，這就要求對分數概念各個知識點之間進行溝通聯系。教師要認真分析教材，把握好學情，拓寬學生的思考途徑，給學生表現自己的機會。

2.拓展思維，感悟思維的意趣。

恰逢學校進行互聽互評活動，筆者引導學生對求一個數的幾分之幾是多少的思路進行了拓寬。

在嘗試用整數方法和直接用乘法計算以后，我啟發學生是否可以換角度思考：同學們，我們已經認識了單位“1”，學習了分數單位、分數與除法的關系等知識，對分數意義有了新的認識。大家能不能自己創設問題情境，換一個角度說明求一個數的幾分之幾是多少可以直接用乘法計算呢？過了一會兒，有些學生表達了自己的見解。

生1：我們上學期學習分數與除法關系時，遇到了“分餅問題”。我是這樣想的：有4塊餅，拿出給小明，小明分得多少塊？可以把4塊餅摞在一起平均分，從中間切開，然后攤開來，這樣看，求4塊餅的是多少不就是求4個嗎？（如圖所示）

生2：4塊餅摞在一起分是不是有點厚??？切不開呀?。ù蠹倚Γ?/p>

生3：可以看作4個圓形紙片呀，他的想法是對的，我們要學會數學地思考。

（學生再舉幾個例子，進一步驗證結論的正確性）

生6：噢，這樣看求一個數的幾分之幾是多少就相當于求幾個幾呀。

師：通過剛才的思考討論，同學們有什么想法??？

生：知識之間都是互相聯系的，多想想可以帶來不一樣的精彩。

【思考：實踐告訴我們，并非所有的教學總是那么清晰、敞亮的，學生的思維過程要經歷困頓、模糊到清晰、頓悟。理想的思維品質是從種種表象中尋求本質和規律，用“通俗”的方法表達，多角度地思考問題、分析問題和解決問題，實現思維的靈動和暢達。】

二、豐盈“思”的過程，暴露“思”的誤區，讓思維走向深刻和通透

1.暴露學生的認知錯誤，找準教學著力點。

《求一個數的幾分之幾是多少》第二課時，安排了“已知一個數比另一個數多 (或少)幾分之幾，求多（或少）多少”一步計算的問題，其結構相對復雜，它是進一步學習稍復雜分數問題的基礎。在前測和訪談中發現，有些學生雖然列出的解答算式對了，但對其結構和數量關系并不理解，有的只是照葫蘆畫瓢罷了。學生的認知誤區和原始想法主要有以下幾個方面：（1）紅花比黃花多，多的部分明明是紅花，為什么是黃花的呢？究其原因，主要是沒有正確確定單位“1”的量，受整數數量關系的負遷移影響，認為黃花就比紅花少。（2）告訴黃花有50朵，為什么不先求出紅花有多少朵，綠花有多少朵，再求多或少多少朵呢？（3）教材上的插圖有些地方還看不懂，等等。

【思考：杜威說：“如果我們知道問題是什么，困難在哪兒，那么有效的思維就比較容易進行了?！卞e誤可以充分暴露學生的思維薄弱環節，有利于對癥下藥，學生的認知錯誤應該借助于學生的“自我否定”來糾正。錯誤作為整體性認知結構的一個有機組成部分，是不可能靠單純正面示范和反復練習得以糾正的?！?/p>

2.豐盈思的過程，讓學生的思維走向深刻。

針對學生的認知誤區，我讓學生課前思考：結合以前學過的相關分數問題和例題中的示意圖，說說你對例題中的數量關系是怎樣理解的？有什么新想法？

課伊始，直接出示例題：六年級同學為國慶晚會準備了三種顏色的綢花，各種花的朵數用下圖表示，其中黃花有50朵。

師：同學們經過自己的思考，對例題中的的數量關系是怎樣理解的？小組討論一下，要求做到言之有理。

生2：黃花有50朵，平均分成 10份，每份是 50÷10=5(朵)，紅花是 5×11=55（朵），紅花比黃花多5朵。

生4：不需要這樣算，可以直接列式 50÷5×2=20(朵)。

師：為了便于比較，讓我們把黃花、紅花、綠花三種花之間關系整理成表。

黃花　10份　50朵把黃花朵數看作單位“1”紅花　11份　55朵比黃花多1 10——紅花占黃花的11 10比黃花少綠花　6份　30朵2 5綠花占黃花的3 5

師：仔細觀察這張表，你有什么發現？

生5：紅花和綠花都是和黃花比較的，把黃花看作單位“1”。

生6：黃花、紅花、綠花的份數分別乘5得到相應的朵數，三種花的對應分率（這里黃花朵數是單位“1”，也可以看作）分別乘50也得到相對應的朵數。

生7：這里的5和50分別是1份數和單位“1”的量。

生8：我發現三種花的對應份數分別縮小10倍，得到三種花的對應分率，三種花的對應分率分別擴大10倍，得到三種花的對應份數。

師：大家都善于觀察，看來每份數和單位“1”的量都很重要。如果把紅花和綠花朵數分別看作單位“1”，那么它們之間又會有什么樣的關系呢？你會有什么發現？

生 11：只要知道單位“1”的量，用它乘相對應的分率，就可以得到相對應的數量。例題中的兩個問題可以直接用乘法求得，列式為

【思考：對學生的了解有時并非像我們想象的那樣。學生可能到哪兒，應該到哪兒，我們能將學生帶到哪兒？這些都是教師應該考慮的教學因素。開始，大部分學生從分數意義的角度對“比一個數多（或少）幾分之幾”的結構進行了分析解答，更多地關注份數。在強調做到言之有理的條件下，絕大部分學生用熟悉的歸一思路解決問題，駕輕就熟，無可厚非。然而教學并不能止于此，學生不善于直接用乘法解決此類問題，說明學生剛剛接觸這一內容，對其結構的抽象性缺乏理解和把握，思維沒有上升到一定水平。這時教師強勢干預，難免會形成僵化的解題模式或機械方法。

既然學生對用份數解決問題如此熟悉，何不由此溯本求源，對這一知識結構重新進行梳理整合，進行必要的知能轉換，向深度學習進行躍進。同時，這也是進一步學習較復雜分數應用題的必然要求，是培養學生觀察、分析、比較、歸納、推理和抽象能力，發展學生思維的絕佳時機。通過對表中每份數、單位“1”的量、相關數量、對應分率的觀察和分析，發現它們之間隱藏的關系，溝通了內在聯系。變換單位“1”的量，學生的思維進一步走向深入。單位“1”的量變化，相關數量的對應分率也隨之變化，但它們之間的倍比關系不變?！皢挝弧?’的量×分率=分率的對應量”這一解題模型呼之欲出，最后由學生自然總結歸納得出。學生對“比一個數多（或少）幾分之幾”這一概念性結構有了自己的理解，直接用乘法列式求解水到渠成。

數學是理性、抽象的，這使得教學易滑向灌輸和機械訓練。小學生的思維特點要求教師善于創設有效的問題情境，引導學生主動參與問題的探究，激發學生的學習興趣，克服認知障礙，形成數學的深度理解，發展學生的思維能力。追求數學課堂的靈動與暢達，簡單與豐富，愉悅與意趣，深刻與通透，這也是提升學生數學素養的有效途徑。】