數形結合助推數學問題“五化”

陳湘芬

數形結合不僅是一種教學方法，還是一種重要的數學思想。在小學教學中巧妙運用數形結合思想，可以使抽象的數學概念形象化、計算算理直觀化、模糊情境具象化、復雜問題表象化、幾何圖形簡約化，從而激活學生思維，拓寬學習思路，提高解題能力，讓學生感受數學學習之旅的無窮魅力。

一、用形表數，數學概念形象化

概念教學是數學教學的難點，因為小學生以形象思維為主，理解抽象的概念知識有一定難度。借助直觀模型，用形表數，可以把抽象的概念形象化，從而幫助學生在直觀中理解抽象的數學知識。

在公開教學《3的倍數的特征》時，用百數表學生找到了3的倍數的特征，我趁機追問：“為什么2、5的倍數的特征只要看個位上的數就可以了，而3的倍數的特征要看各個數位上的數字和呢？”學生一下子就蒙了，探究中我借助信息技術數形結合一步步演示分小棒過程，如24根小棒先拿出20根，3根3根分余2根，余下的2根與4根合起來剛好6根，6是3的倍數，所以24是3的倍數。而且24中個位與十位相加2+4=6，因此得出，一個數各個數位上的數字和是3的倍數，這個數就是3的倍數。學生、聽課教師頓時豁然開朗。巧用數形抓住數學本質，學生不僅知其然，更知其所以然。

如《積的變化規律》一課，在學生初步感知積的變化規律后，我讓學生將發現的規律應用于解決實際問題，感受由數的變化引起面積的變化。

計算長方形的面積：（單位cm）（見下左圖）

借助形的支撐，多數學生很自然地把左圖變成了右圖，通過對比，都能具體描述積的變化規律。

用形解數，最大程度地考量了小學生形象思維為主的現實，既可以由數解釋形，也可以由形概括數，自然落實數形結合的思想。這樣，學生不僅掌握了概念的特征，還深刻理解了概念的本質特征，有效地促使學生的知識結構實現了遷移。

二、化數為形，計算算理直觀化

利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數學原理與事實，讓人一目了然。尤其是對于小學生，其思維的抽象程度還不夠高，可以借助直觀模型來幫助理解。例如，利用面積模型來解釋兩位數乘兩位數的算理，長方形模型來理解分數乘法的算理。

上面只展示兩種折法(先橫后豎）與（先豎后橫）。學生通過動手折一折、涂一涂很快發現：在分數乘法中，遇到分數乘分數的問題，只要分子乘分子、分母乘分母就可以了（能約分的先約分再計算比較簡便）。

一個簡單的圖形清楚地詮釋了計算的道理，直觀地演繹了數學計算過程，讓學生對數學計算有更深入的認識和理解，原本抽象難懂的計算過程頓時生動形象起來，進而更好地提高學生對數學運算的應用意識。

三、借形想數，模糊情境具象化

數形結合思想，簡單地說就是將數學中的語言及數量關系和直觀幾何圖形相聯系，進而達到舉重若輕、輕松解題的目的。在許多數學問題中，已知條件看似容易，但學生要將問題的情境對應為數量關系有一定難度。這時，教師就可以運用數形結合思想，讓學生借助圖形更好地理清對應的數量關系，從而使模糊情境具象化，提高解題的正確率。

如用長13分米，寬5分米的長方形鐵皮剪成幾個半徑為10厘米的圓做桶底，可以剪多少個圓？

學生一看到這題馬上會想到用“大面積÷小面積”的方法，實際上這種解題方法是不適合的。因為實際生活中完整的圓剪下后余料是不可能再利用的。可以引導學生借助草圖幫助理解。

如A、B、C、D、E五人進行乒乓球單循環賽，比賽進行一段時間統計如下：A已賽了4場，B已賽了3場，C已賽了2場，D已賽了1場，這時E已賽了幾場？到比賽結束還需要進行幾場比賽？

通過畫圖，結果一目了然：E已賽了2場。到比賽結束還需要進行4場比賽。就這樣，巧用數形結合，讓模糊數學問題清晰化，使學生在看得見、摸得著的情況下正確分析數量關系，尋找解決問題的策略，把學生的思維引向更深處。

四、以形解數，復雜問題表象化

利用數形結合平臺，可以將抽象的數學知識轉化成為便于學生理解的表象，降低學生的解題難度，同時培養學生的觀察能力、推理能力、發散思維能力。

通過觀察題目，大家都知道此題從簡單開始一步步算。其實像算式可以引導學生畫圖理解（如下圖）。學生發現只要用大正方形面積減去剩余面積即可，而剩余部分面積剛好是整個正方形的。即

學生在計算過程中還發現加數有規律，后一個加數是前一個加數的。這些加數無限加下去，最后所得的和都等于1減去最后一個加數；加數的項數越多，和越接近1。但是這個無限接近于1的數到底是多少呢？利用面積模型，在模型上表示出這些加數，學生借助圖形理解：無限加下去，最終的得數是1，感受極限思想。

又如，牧場上長滿了牧草，而且每天都在勻速生長。這片牧場的草可供24頭牛吃6天，或者供21頭牛吃8天。那么，這片牧場上的草可供16頭牛吃多少天？（假設每頭牛每天吃草量相同）

這種題目可以先畫圖，再利用數形之間的關系來解答，降低解答難度。

1.先求每天長草量。

先把每頭牛每天吃草量具體化，設1頭牛1天吃1份草，那么24頭牛6天吃草量24×6=144（份），21頭牛8天吃草量21×8=168（份）。（見下圖）

（168-144）÷（8-6）=12(份）。

2.再求原有草量。

144-12×6=72（份）。

3.最后求吃的天數。

72÷（16-12）=18（天）。

引導學生：每天新長草量12份，不夠16頭牛吃，只能派4頭牛去吃原有的草量，所以原有草量每天減少4份。

數形結合，可以讓抽象的復雜的“牛吃草”問題迎刃而解。學生在解疑的過程中，知識建構得既生動又深刻，同時還在解題中體會到了數學之美，感受到了數學學習的獨特魅力。

五、用數示形，幾何圖形簡約化

《九章算術》指出：析理以辭，解體用圖。運用數形結合思想，將三視圖與數字巧妙結合，使學生解決問題的方法更具有簡約化與創造性，有助于培養學生的空間觀念。

如求出下圖的體積。（小正方體棱長為1cm）

從平時的練習中發現，學生用數數的方法數錯的也不少。但是利用俯視圖（右上圖），并在相應的位置注上數字，結果顯而易見3×3+2×3+1×3=18（cm3），簡單又正確。

這類還原立體圖形題，可以數形巧結合，根據左視圖和主視圖推斷出主視圖相應格子中小正方體的個數，不用擺小正方體也能正確快速解答。

最少:3+2+1=6（個）最多:3+6+5=14（個）

實物圖驗證（見上圖）。

著名數學家華羅庚教授曾經說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合萬般好，隔離分家萬事非。”期待數學教壇同仁多多用心于數形結合，在實際教學中努力鉆研教材，靈活運用數形結合思想，讓數形結合思想滲透在數學教學的每個領域，真正走進學生的心靈，幫助學生更深刻地理解數學知識，體會數學之美，從而使數學學習成為怦然心動的魅力之旅。