指導“再創造”發現“海王星”
——《三角板中的奧秘》教學實踐與思考

牛獻禮（特級教師）

【教學內容】

人教版四年級上冊第42頁。

【教學思考】

人教版教材四年級上冊《角的度量》單元中有一道習題“用一副三角板能拼出多少度的角？”筆者認為此題目內涵豐富，在教學時不能局限于解決這樣一個具體問題，而應深入挖掘三角板中有關數學思考的內容，將之拓展、開發成一節數學實踐活動課，提高學生的學習能力和思維水平，增強學生對數學的積極情感，從而更好地發揮數學內容的教育價值。那么，圍繞三角板的數學實踐活動又該以怎樣的邏輯線索展開呢？

弗賴登塔爾認為，作為教育任務的數學不應該是現成的數學，而應該是學生做出來的數學。“學生應當通過再創造來學習數學，這樣獲得的知識與能力才能更好地理解，而且能保持較長久的記憶。”他這里強調的是“再創造”，也就是說學生的創造不是創造成人不知道的東西，而是“創造”人類已經創造出來的東西。可能他創造的東西，成人都知道，教師都知道，但是對學生來說，它是新的。所以，“再創造”的核心是數學過程再現，這是學生的數學化和數學家的數學化的不同之處。在數學化過程當中，教師的教和學生的學應該在數學的活動中實現統一，實現“有指導的再創造”。教師的責任就是創設適合于學生進行數學化活動的具體的、現實的情境，并有效地指導他們參與到數學化的各個方面中去。

基于此，本節課的教學思路逐漸清晰了起來，教學應該圍繞“用一副三角板能畫出多少度的角”和“用兩副三角板能拼成哪些圖形”這兩個核心問題展開探究。圍繞“用一副三角板能畫出多少度的角”，指導學生從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過合情推理去探索思路，推斷結果，發現結論，促使學生在“再創造”過程中不斷迸發出學習熱情和創新“火花”；圍繞“用兩副三角板能拼出哪些圖形”，指導學生將動手操作與有序思考相結合，積累幾何活動的實踐經驗，豐富直觀體驗，發展空間想象能力和理性思維。可見，有序思考、數學推理、幾何直觀一個不少，綜合地發生在“畫角、拼圖”的探究性學習過程之中，不僅加深了學生對于相關知識的理解，同時也使學科核心素養的培育得到了有效的落實。

【教學過程】

一、看一看，發現三角板中角的特點

師：我們先來猜一個謎語：“一對親兄弟，都有一直角；既能畫直線，也能來畫角”，打一學習用具。

生：三角板。

師：是的，謎底是三角板。把你的三角板拿出來看一看，一副三角板有幾塊？都是什么樣子的？知道每塊三角板中三個角的度數分別是多少嗎？

生：一副三角板有兩塊，一塊三角板三個角的度數是90°、30°、60°；另一塊三角板三個角的度數是90°、45°、45°。

師：為了便于交流，我們把含有30°的這塊三角板叫作含30°的三角板，把含有45°的這塊叫作含45°的三角板。

【思考：課始，讓學生“猜謎語”，以游戲的方式為本節課的學習定向；通過觀察三角板，喚醒學生已有的知識經驗，為接下來的探究學習做好準備。】

二、畫一畫，探究三角板中角的奧秘

出示探究任務：用一副三角板畫角，你能畫出哪些度數的角？

1.在練習本上畫角，并標出角的度數。

2.如果是兩塊三角板拼起來畫出的角，標出是哪兩個角拼成的。

3.把你畫出的所有角按照從小到大的順序排列起來。

生：畫出的角從小到大是30°、45°、60°、75°、90°、105° 、120° 、135° 、150° 、180°。

師：這些角中有哪些角是依照三角板上的角直接畫出來的？

生：30°、45°、60°、90°。

師：有哪些度數的角是用兩個三角板拼起來畫成的？分別是由哪兩個角拼成的？

生：75°是由 30°和45°拼成的；105°是由 45°和60°拼成的；120°是由30°和90°拼成的；135°是由45°和90°拼成的；150°是由60°和90°拼成的；180°是由90°和90°拼成的。（板書）

師：除了剛才大家說的這些角之外，還能畫出其它度數的角嗎？

生：不能了吧。

師：兩個角相加可以拼成新的角，如果兩個角相減呢？想一想，自己試著畫一畫。

（學生獨立思考、嘗試畫角）

生：我畫出了15°的角！

教師讓學生在黑板上示范畫15°的角：先畫出45°的角，再在里面畫出一個30°的角，剩下的就是15°的角。

生：還可以用60°和45°的角畫出15°的角。

師：你怎么想的？

生：60°-45°=15°。

師：非常好！現在我們仔細觀察這些從小到大排列起來的角，你有什么發現？

生：我發現它們都是15的倍數。

生：我發現它們之間都是相差15°。

生：不對，有兩個角相差的不是15°，150°和180°相差的是30°。

師：還真是這樣啊！

生：我有個想法！很可能有一個165°的角我們還沒有畫出來，如果畫出來了，每兩個角之間都會相差15°。

師：這倒是一個很有價值的猜想！不過，凡是猜想都需要驗證。怎么驗證呢？其實只要能畫出來，就驗證了猜想是正確的。可是，165°的角怎么用一副三角板畫出來呢？

（學生獨立思考，小組內討論165°的畫法）

生：先畫出15°的角，再以一條邊為基礎，畫出150°的角，15°和150°加起來就是165°。

師：可以是可以，但是有沒有更簡便的畫法呢？

生：先畫出15°的角，再把15°角的一條邊延長，就得到了165°的角。

（如下圖）

師：誰看懂他的意思了？說說這個角為什么是165°？

生：這兩個角合起來是一個平角，即180°,180°-15°=165°。

師：這種畫法確實簡便多啦！我們回顧一下剛才尋找角的過程，哪個角最不容易想到？

生：165°的角。

師：那我們是怎么找到165°的角的？

生：我們是先根據規律猜想到會有165°的角，再畫一畫，去驗證。

師：沒錯！我們是先找到了這些角的排列規律，發現相鄰的兩個角都是相差15°，只有150°和180°相差了30°；接著，我們就猜想可能它們之間還有一個角沒有找到，這個角就是165°；然后，我們就想辦法畫出165°的角，根據15°角畫出了165°的角。你覺得在找到165°角的這個過程中，什么最重要？

生：猜想最重要。

師：確實，猜想最重要，但猜想并不是“瞎猜”，而是從已有的事實出發，根據規律進行合情推理（板書：推理）。科學家們在科學研究中經常用到這種研究方法，比如天文學家就是運用這樣的方法發現了太陽系中的海王星。

（教師介紹科學史上“海王星的發現過程”：海王星最開始并不是用望遠鏡發現的，而是在筆尖上被發現的。自從發現太陽系的第七顆行星（天王星）之后，科學家們便開始研究天王星運行的軌道，在研究過程中發現天王星和計算出來的軌道不完全一樣。天文學家推測有可能在天王星之外還有一顆未知的行星在干擾天王星的運動規律。但是，這顆尚未被發現的行星究竟在哪里呢？英國人亞當斯運用數學的方法，用了2年多時間推算出了這顆行星的位置。幾乎在同一時間，一位法國天文學家也同樣用數學方法推算出這顆行星的位置。1846年，天文學家把望遠鏡指向用數學方法推算出的行星位置，在那里真的有一顆新的行星存在。這個“在筆尖上”發現的行星就是太陽系的第八顆行星——“海王星”）

【思考：上述以解決問題“用一副三角板能畫出多少度的角”為載體的探究學習過程中，學生積極參與其中，經歷猜想、驗證等探索活動，在收獲經驗與感悟的同時，創新火花不斷迸發。學生將畫出的角度從小到大有序排列，其實就是在進行理性思維；學生依據已有規律猜測可能存在165°的角，實際上是在進行合情推理；“海王星發現過程的介紹”開闊了學生視野，讓學生更加深切地感受到數學的魅力與價值。可見，學科核心素養的培育在上述探究性學習中得到了有效落實。】

三、拼一拼，探究三角板中邊的奧秘

出示探究任務：用兩副三角板能拼成哪些平面圖形？

1.同桌合作，用兩副三角板拼圖形。

2.每拼出一種圖形，就畫出它的示意圖，并標上圖形名稱。比一比，哪個小組拼出的圖形多？

生：用兩個含30°角的三角板拼圖形，有六種拼法。

生：用兩個含45°角的三角板拼圖形，有三種拼法。

師：想一想，要拼出這么多圖形，怎么才能做到不重復、不遺漏呢？

生：先用含30°角的兩塊三角板去拼圖，再用含45°角的兩塊去拼，就不容易遺漏。

生：拼圖時，要固定一個三角板，然后不斷變換另一塊三角板，這樣不容易亂。

生：我是先重合直角邊，找全了之后，再重合斜邊去找。

師：同學們的方法盡管不完全相同，但共同點都是有序思考（板書：有序思考），有序思考容易做到不重復、不遺漏。

（課件演示：有序拼圖的過程）

師：再想一想，同樣是兩塊三角板，為什么含30°角的三角板和含45°角的三角板拼出的種數不同呢？

生：因為含30°角的三角形三條邊都不相等，每重合一條邊就有兩種拼法。含45°角的三角形有兩條邊相等，這樣就有幾個拼法是重復的，所以拼出的種數少。

【思考：“兒童的智慧在他的手指尖上”，拼圖活動的價值不在于結果，而在于過程，在于實踐活動中所積累的活動經驗和獲得的直觀體驗。從某種意義上說，幾何直觀就是數學活動經驗不斷積累所形成的數學素養。數學基本活動經驗主要包括實踐的經驗和思維的經驗兩個方面，兩者都依賴于學生參與數學活動，獲得切實的過程性體驗。上述教學中，通過“拼圖形”等操作活動，積累實踐經驗；通過反思和提煉，進一步將實踐經驗上升為思維經驗。】

四、轉一轉，想象三角板旋轉后形成的立體圖形

師：如果把三角板繞一條直角邊所在的直線旋轉一周，會形成什么圖形？

（全班交流匯報不同的旋轉方法，課件動態演示直角三角形旋轉形成圓錐的過程）

【思考：通過猜測“旋轉三角形所形成的立體圖形”，啟發學生思考、想象，幫助學生形成表象，為后續“認識圓錐”的學習做了有意義地滲透，促進學生空間想象能力的發展。】