基于數學本質處理教學細節
——以《圓的認識》教學為例

程　思

人們對于“圓”很熟悉，它是平面幾何圖形。而日常生活中，籃球常常也被人們描述為“圓圓的”。在這兩種表述中，“圓”的內涵是不相同的。但在課堂上，學生容易將之混為一談。在教學中，像這樣數學語言與日常生活用語相沖突的情況時有發生，教師該如何處理呢？作為一線教師，我認為應基于數學本質來處理教學細節。

張奠宙教授在《更多地關注數學本質與細節處理——以圓的定義為例》一文中，發表了三個觀點：生活中表述的圓，不是圓的數學本質；改進課本對圓的定義；關注圓與圓形之細節處理。文中也提到一個不成文的規定：“小學階段只涉及圓的直觀表象，不出現圓的定義。”但張教授建議教學時，在畫圓的活動后順勢提出一個圓的定義。這個改進建議是否可行呢？效果又如何呢？

根據張教授的設想，我從定義、教材、教學活動這三個方面對圓的定義的教學進行了如下分析。

一、辨析定義，明確圓的數學本質

圓的定義是什么呢？通過查閱現行的小學、初中、高中數學教材，查閱《解析幾何》《幾何原本》等著作，發現有關“圓的定義”有多種不同的表述方式，在教材中通常引用以下三種：

集合論（定義1）：平面內與一個定點距離等于定長的點的集合叫作圓。

軌跡論（定義2）：在平面內，線段OA繞著它的端點O旋轉一周，它的另一端點A所經過的封閉曲線叫作圓。

極限演變論（定義3）：圓可以看作是正n邊形，是無窮正多邊形。（你想畫多圓，就可以用多少邊的正n邊形來代替）

在解析幾何的平面直角坐標系中，根據圓的定義，設定點C（a，b）表示圓心；定長 r表示半徑；那么圓的標準方程為（xa）2+（y-b）2=r2。

假設M為平面內任意一點，d為M到圓心的距離。點與圓有三種位置關系：當d=r，M在圓上；當 d＞r，M在圓外；當d＜r，M 在圓內。

由此可見，圓是d=r的點的集合，是一條封閉曲線，即是一維的幾何圖形。

圓盤是包括了d=r及d＜r的點的集合，是由這條封閉曲線所圍成的平面區域，可以看作是二維圖形。圓盤與圓具有不一樣的數學本質。

而球體一般方程為（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2，可見球體是三維立體圖形。

在生活中人們把具有光滑、飽滿、勻稱性質的形狀統稱為：圓的。但在數學領域，他們切不可混為一談。

二、對比教材，理解圓的數學本質

由圓的定義可知圓與圓盤是有本質區別的，那么在選擇教學素材時應考慮到圓的數學本質。什么素材有利于區分圓與圓盤？為此我對比了人教版1990年、2006年、2014年不同時期的教材：

年份　引入方式　素材1990先復習平面上的直線圖形，再引出平面上的曲線圖形——圓硬幣、鐘面、圓桌面的實物圖2006　單元主題圖　公園情境，學生找圓形物體2014　從自然景象到建筑物　水滴形成的水紋，天壇、摩天輪等

三種不同時期的教材都注重與學生生活實際相聯系。與1990 年教材相比較，2006、2014版教材更注重讓學生去發現圓。在2014新版教材中先直接指出生活中到處可以看到大大小小的圓，再以水紋、摩天輪等引入，素材更加豐富。新教材雖沒有將圓的定義形成文字，但在素材處理上更注重圓的數學本質，事實上呼應了張奠宙教授的觀點。

通過查閱大量教學案例，發現在教學中仍然常見以硬幣、鐘面等實物引入。在探究“圓的特征”活動環節，會讓學生以圓紙片為學具。這樣與剛剛談論的“圓的數學本質是一維曲線”相違背。

為使學生對圓形成清晰的表象，筆者建議：1.先出示如自行車輪、手鐲等更接近圓的本質屬性的實物。2.再出示硬幣、光盤等實物圖讓學生找一找圓。3.最后再以圓紙片為學具探究圓的特征。這樣更有利于學生形成概念。

三、參與活動，接受圓的數學本質

張教授文章中提出“六年級的學生已經接近少年時期，完全有能力弄清圓的幾何學定義”，學生是否可以接受呢？效果如何？

通過整理相關教學案例，發現許多小學數學名師都上過這節課，后起新秀們也頻頻用這節課來“小試牛刀”。在此從中選擇三節具有代表性的課進行觀察分析。

1.【集合論】公平的游戲。

教師出示三個套紅旗游戲的實景圖，學生思考游戲的公平性。

接著，進一步將實景圖抽象出三個相應的教學示意圖：

得到結論：直線和正方形上的點到一個定點的距離并不是都相等；圓上的所有點，到一個定點（圓心）的距離都相等，得出圖3最公平。

此案例中，學生通過游戲找出了“圓”。教師自然、形象地引出“圓”，同時也讓學生初步感知“圓”的陳述性定義：圓上的點到定點（圓心）的距離都相等。

2.【軌跡論】美妙的圖案。

在平面圖形的世界里圓與其他圖形有著錯綜復雜的關系。正三角形，以中心旋轉，旋轉后成了一個近似圓的圖形。

正方形，繞著它的一個頂點旋轉，還是近似一個圓。

不僅是直線圖形旋轉后能找到圓，曲線圖形甚至是線段通過旋轉也能找到近似的圓。

通過拓展，學生更深刻地理解了圓的本質，也了解了圓的另一個定義：當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。使掌握知識與發展數學思維自然地融合在一起。

3.【極限演變論】。

《周髀算經》中有記載：圓出于方，方出于矩。

在同一個圓里，半徑處處相等，具有這樣等長線段的卻不只是圓。正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形從中心出發，連接頂點，這些線段的長度也一樣。

想象一下，正一千邊形、正一萬邊形，直到無窮無盡，這時就越來越接近一個圓。在欣賞直線逐漸逼近曲線的過程中，學生感受到正多邊形無限逼近于圓，“圓”可以看作是無窮正多邊形。

以上三位教師圍繞著圓的本質，來處理教學細節，以貼近生活的游戲或者活動，將圓的動態形成過程展示出來，讓學生在充分參與、充分體驗中理解并接受了圓的定義。由此可見，張奠宙教授提出的“在《圓的認識》教學中出示簡單的‘圓的定義’”，這個設想是能被學生所接納的。

在張教授這篇文章的引領下，我查閱了相關資料，分析了不同版本的教材，研究了從不同角度來設計的教學案例。在研究過程中無時無刻不感受到數學思辨的魅力。我想，作為一名數學教師，我們不能簡單地局限于教材，更應該敢于質疑，通過不斷的探究，理解數學的本質，形成自己的見解，并有意識地培養學生質疑、探究、論證的精神與能力。

作為一線教師，只有從教學細節入手，在閱讀中反思，在思考中思辨，在實踐中驗證，在歷練中提高，才能帶領學生領悟數學的本質。