高中數學變量代換解題方法探究

浙江省常山縣紫港中學 王 俊

高中數學變量代換解題方法探究

浙江省常山縣紫港中學 王 俊

在高中數學的學習中，變量代換解題方法是一種靈活有效的數學解題技巧，也是一種數學思維方法。當數學問題中的結構較為復雜、變元較多時，可以引入一些新的變量進行代換，從而快速簡化解決問題。變量代換的實質就是“化未知為已知、化繁為簡”，在高中數學學習中應用變量代換解題方法，對于提高學生的邏輯思維能力和解決問題能力具有重要作用?；诖耍疚膶Ω咧袛祵W變量代換解題方法進行了探究，詳細分析了幾種較為常用的變量代換解題方法。

一、均值代換

對兩個類似的算式，可以令其算術平均值為t進行代換。如果遇到形式如同a+b=S或者a2+b2=S這樣的對稱結構，可設，或者等等，這樣的代換方法即為均值代換。

分析：根據求證要求，可以從題目中的條件“a＞1，b＞1，c＞1”想到“a-1＞0，b-1＞0，c-1＞0”，對后者進行均值代換，簡化形式，便能快速求證。

分析：由已知“A+C=2B”和“三角形內角和等于180°”的性質，可得A+C=120°，B=60°；由“A+C=120°”進行均值代換，設A=60°+α，C=60°-α，再代入可求cosα，即。本題由A+C=120°”、“”分別進行均值代換，隨后結合三角形角的關系與三角公式進行運算，除由已知想到均值代換外，還要求對三角公式的運用相當熟練。

解答：∵A+C=2B，且A+B+C=180°，

∴A+C=120°，B=60°，

設A=60°+α，C=60°-α，代入已知等式得：

二、三角代換

三角代換應用于去根號，或者把代數式換成三角式更容易求解時，主要利用已知代數式與三角知識的聯系進行代換。比如求函數的值域時，容易看出x∈[0,1]，設x=sin2α，，這時問題就變成了熟悉的求三角函數值域，能夠如此設定的關鍵是要發現值域的聯系，并且有去根號的需要。再比如當變量x、y適合條件時，則可以用三角代換x=rcosθ、 y=rsinθ轉化為三角問題。

四、整體代換

整體代換可以應用在以下問題情形中：如果在條件或者結論中某個代數式反復出現，那么我們就可以用一個字母來代替它。需要注意的是，在某些情況下需要通過變形才能發現。例如解不等式4x+2x-2≥0，這時可以先變形為設2x=t（t＞0），從而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題。

例6 已知f（x+1）為奇函數，f（x）=x·（x+1）（x＜1），求x＞1時函數f（x）的解析式。

解答：令x=t+1（t＜0），從條件f（x）=x·（x+1）（x＜1）可得：f（t+1）=（t+1）（t+2）。又因f（x+1）為奇函數，因此f（t+1）也為奇函數，所以-f（t+1）=f（-t+1），f（-t+1）=-（-t-1）·（-t-2）。令T=-t（T＞0），則f（T+1）=-（T-1）（T-2），因此f（T）= -（T-2）（T-3），所以f（x）=-（x-2）（x-3）=-x2+5x-6（x＞1）。

總之，變量代換解題方法可以廣泛應用于高中數學問題的分析解答中，并能收到奇妙的效果。高中數學教師要在日常教學中滲透變量代換解題思想，引導學生掌握變量代換解題方法，逐漸提高學生的數學分析能力和靈活運用變量代換解答數學問題的能力。