“函數的單調性”教學設計實施與反思

江蘇省宜興市官林中學 李雙雙 姜傳偉

“函數的單調性”教學設計實施與反思

江蘇省宜興市官林中學 李雙雙 姜傳偉

一、教學內容解析

“函數的單調性”是蘇教版必修1第2章第2節“函數的性質”第1課時的內容，是繼函數的基本概念之后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念，函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時函數值的變化規律；函數單調性的學習為進一步學習函數的其他性質提供了研究方法，此外，函數單調性是學習不等式、極限、導數等其他數學知識的重要基礎。因此本節課在整個教材中具有極其重要的地位與價值。

二、教學過程

1.情境引入

師：（教材37頁圖）觀察這個函數θ＝f（t），說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高或是下降的。

生：[4，14]內溫度上升，[0，4]和[14，24]內溫度下降。師：再看函數y=x2，它的圖像有什么特點？生：x＞0，圖像上升；x＜0，圖像下降。師：y=x3的圖像呢？生：上升。

【設計意圖】在概念（性質）的教學中，樹立“高中數學教學活動以發展學生數學核心素養為導向”的教學意識，創設有利于學生數學核心素養發展的教學情境，發展數學抽象和直觀想象素養。本節通過給出學生熟悉的問題情境，提出相關問題，引發思考。

2概念建構

問題1 觀察圖像y=f（x），x∈[0,6]，并說出圖像特點。

生：圖像是平行于x軸的直線，即y=1。

師：真是這樣嗎？我們來看它的函數解析式：y=0.001x+1，x∈[0,6]。

【設計意圖】讓學生意識到當自變量x變化而因變量的變化很微小時，我們不能從圖像上觀察到，要從代數的角度去研究，即用數學符號表示函數圖像變化趨勢的必要性。

師：我們剛才從圖像中看到的，就是我們今天要研究的——函數的單調性。

問題2 怎樣用符號語言描述圖像的上升與下降呢?生：上升：f（x）隨x的增大而增大；下降：f（x）隨x的增大而減小。師：很好，在數學上用符號“ ↗ ”表示“增大”；用“↘ ”表示“減小”。如何用自變量與因變量的關系來描述這種變化呢？

教師板書學生討論得到的描述：上升：x↗ ， f（x）↗ ；下降：x↗ ，f（x） ↘ 。

問題3 所謂的上升就是在圖像上有兩個點（x1，y1），（x2，y2），如果x1＜x2，那么對應的函數值y1與y2的大小關系如何?

生：y1＜y2。

師：如果圖像是下降的，那么y1與y2的大小關系又如何?

生：y1＞y2。

師：那么問題來了，這里的兩個點（x1，y1），（x2，y2）是任意取的，還是有條件限制的？

師生互動、討論，說明兩點選取是任意的。

師：為什么是任意的兩個點？三個可以嗎？一個呢？

生：一個點無法比較大小，任意的兩個點既便于比較，又能代表區間上的所有點。

在大家表示同意之后，讓學生將“x↗ ， f（x）↗ ”“ x↗ ，f（x） ↘ ”用x1，x2和y1，y2來表示。

上升：任意的x1，x2∈I且x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）。

下降：任意的x1，x2∈I且x1＜x2，有f（x1）＞f（x2）。

問題4 你能給出函數單調遞增的定義嗎？

生：對任意的x1，x2∈I且x1＜x2，如果有f（x1）＜f（x2），則稱函數在區間I上單調遞增。

師：你們同意嗎？

師：很好，那單調遞減的定義可以類似得出。

到此，得出單調性的定義，教師板書。

【設計意圖】在課堂教學中，提高學生從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題的能力；讓學生逐步地學會用數學思維分析世界，在發展學生邏輯推理和數學運算素養的同時，培養學生的認知策略。在用數學符號刻畫“函數單調遞增和單調遞減”這一新概念時，循序將進地得出概念，以進一步發展學生的元認知。

3.數學運用

例1 下列說法是否正確？

（1）定義在R上的函數y=f（x），如果f（2）＞f（1），那么它在R上是增函數；

（2）如果函數y=f（x）在R上單調遞增，則必有f（2）＞f（1）；

（3）定義在R上的函數y=f（x），如果f（2）＞f（1），那么它在R上不是減函數。

學生口答，強調判斷函數的單調性，必須嚴格按照定義。

例2 畫出下列函數的圖像，并寫出單調區間。

教師巡視，選出具有代表性的典型錯誤投影給學生，如（1）函數的減區間為，通過觀察圖像或取特殊值代入驗證，不難得出這種寫法錯誤：函數的單調區間不可以用“并”，而是用逗號或者“和”連接兩個區間。（2）的目的是讓學生知道函數的單調性是對定義域的某個區間而言的，它反映的是局部性質。（3）說明并不是所有的函數都具有單調區間。

師生一起完成（1）。同學們自行證明（2），教師巡視，選取學生的解答并投影，其他同學點評。

【設計意圖】證明單調性時，如果f（x1）-f（x2）得到的是分式形式，那么必須要先通分，如果需要分解，要分解徹底，把差化成因式相乘（相除）并且能夠判斷符號的式子，斷不可利用單調性證明單調性。最后總結證明函數單調性的一般步驟：設點，作差，變形，判號，下結論。

三、教學反思

“任何科學研究都是從問題開始的，沒有問題就沒有問題的解決。

突出問題的提出，實際也是重視科學研究方法的滲透。”問題，是驅動學生思維的源泉。好的問題，可以啟動學生的思維、形成有效的數學探究活動，因此，設計的問題應當符合學生的實際。

本課中通過問題1，使學生意識到用僅從“形”的角度研究還不夠，只有從“數”的角度去研究函數，才能更細微、更嚴謹。學生的認識僅建立在圖形的直觀上，尚缺乏理性的思考。與初中不同的是，高中階段更注重從代數角度深入分析圖形變化的本質。在問題3的解決過程中，學生逐步體會到圖形的上升與下降的本質，其實是圖像上每個點位置的變化，而點的位置變化對應著點的坐標變化，因此只需研究圖像上每個點的坐標變化規律，就能獲得函數圖像的變化趨勢。在這個過程中，學生從過去的從形導數深化為由數釋形，實現了思維水平的提升，從中培養了學生的數學抽象和邏輯推理能力。在教學過程中，揭示數學知識背后蘊含的數學思想方法，大大有利于學生數學素養的形成。

[1]涂榮豹，寧連華．中學數學教學案例研究[M].北京：北京師范大學出版社，2011（9）.

[2]張建橋.高考“蘇派風格”觀照下學生數學核心素養探微.江蘇省教育協會年度優秀論文，2015.