趣證“兩點間直線段最短”

譚湘文

摘 要：本文對“兩點間直線段最短”提出四種證明方法。

關鍵詞：直線段；最短；證明

證明“平面上兩點間直線段最短”，有以下幾種思路：

思路一：先證“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”。設有線段DE、EF、AC，將DE、EF拉直成直線段DF，DF長|DE|+|EF|。若|DE|+|EF|≤|AC|，將D點與A點重合，線段DF與AC重合，則F點在A、C之間或與C點重合，線段DE、EF、AC無法構成三角形，故“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”。

再證本題。A、C兩點間有直線段AC。（1）對于經過A、C兩點及直線外一點B的兩段連折線，連接線段AB、BC、AC，構成三角形，則|AB|+|BC|>|AC|，所以連折線段長于直線段AC。（2）對于經過直線外已知多個點的連折線，連接A、C和多個點，將此多邊形分割成多個三角形（對每個凹進去的角，連接兩端點添加輔助線），多次運用“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，證得接折線段長于直線段AC。（3）對于A、C間的曲線，可以分為無限多段連折線，當經過的點無限多時，此接折線就近似曲線了，同上，亦證得曲線段長于直線段AC。故兩點間直線段AC最短。

思路二：先證勾股定理并導出兩點間距離公式。設有4個同樣的直角三角形，斜邊長c、長直角邊長b、短直角邊長a，必能拼成一個以斜邊長c為邊長的正方形，中心恰好有個小正方形空隙（如果是4個等腰直角三角形，則沒有空隙）。小正方形空隙邊長是兩條直角邊之差，面積為（b-a）2，大正方形的面積c2=（b-a）2+4×ab÷2=a2+b2，即有勾股定理。可導出：在直角坐標系中，設A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=。

思路四：假設A、C兩點間存在曲線段（包括折線段）S最短，那么接連A、C點，以直線AC為對稱軸，必有曲線段S2與S對稱，長度相等。取曲線S上任兩點E、F，連接此兩點，對于其間的曲線段，以直線EF為對稱軸，必有另一曲線段與其對稱，長度相等，這樣進行分割、組合，就會存在無數條距離最短的曲線，而這在平面幾何中是不可能的，故直線段AC最短。

（作者單位：湖南省長沙市明德中學）