如何用代數(shù)法和幾何法解析函數(shù)與幾何綜合題

陸曉平

函數(shù)與幾何是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一。函數(shù)中的幾何問(wèn)題，能使代數(shù)知識(shí)圖形化，而幾何中的函數(shù)問(wèn)題，能使圖形性質(zhì)代數(shù)化。由于函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題靈活多變，能較好地考查學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)思想方法，因此不難發(fā)現(xiàn)近幾年上海數(shù)學(xué)中考24題一般都是二次函數(shù)與幾何綜合題，進(jìn)一步研究可以發(fā)現(xiàn)其中大部分問(wèn)題是求滿足某一條件的點(diǎn)的坐標(biāo)。

本文特選一例來(lái)談一談二次函數(shù)與幾何綜合題中用代數(shù)法和幾何法求點(diǎn)的坐標(biāo)，期望能達(dá)到拋磚引玉的目的。

本小題有兩個(gè)直角∠AOB=90°和∠ABC=90°，對(duì)“一線三等角”模型熟悉的同學(xué)會(huì)很容易想到過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，利用相似三角形或銳角三角形來(lái)解決，相比前兩種代數(shù)法，這種幾何法的計(jì)算量更小。

解得a=10，a=-6或a=0，a=4

∴P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）

本小題已知ΔBCP與ΔOAB，并且很容易找到一對(duì)直角對(duì)應(yīng)相等，于是分類討論就只有兩類，很容易把BP的長(zhǎng)度求出來(lái)，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線BC上，容易想到設(shè)未知數(shù)，用一個(gè)未知數(shù)表示所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式建立方程，解出方程的解即可。此代數(shù)法容易想到并且不容易漏解，但是相對(duì)幾何法計(jì)算量稍大。

解法二：幾何法求點(diǎn)P坐標(biāo)。

∴PH=4，BH=8 ∴P（10，-4）

∴綜上所述：P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）

本小題還可以利用如上平行線成比例或相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的幾何法來(lái)解決，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，構(gòu)成相似三角形或平行線基本圖形，利用對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)線段成比例直接解決過(guò)點(diǎn)P的垂線段的長(zhǎng)度，從而解決點(diǎn)P坐標(biāo)。相對(duì)于前面代數(shù)法，這里幾何法的計(jì)算量非常小，但可能容易漏解。

通過(guò)對(duì)這個(gè)二次函數(shù)和幾何綜合題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，在二次函數(shù)與幾何綜合題中求點(diǎn)的坐標(biāo)一般都可以用代數(shù)法和幾何法解決。代數(shù)法一般可以利用兩點(diǎn)之間距離公式、勾股定理，列出方程，求出方程的解即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)或者利用兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立方程組求出方程組的解即可解決點(diǎn)的坐標(biāo)。代數(shù)法求點(diǎn)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)是不易漏解，但有時(shí)用代數(shù)法計(jì)算量可能較大，容易算錯(cuò)，還有可能出現(xiàn)高次方程不會(huì)解。幾何法一般可以過(guò)所求的點(diǎn)作與坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)成相似三角形、平行線成比例或直角三角形等基本圖形，利用相似三角形、線段成比例、銳角三角比或勾股定理求出過(guò)所求點(diǎn)的垂線段長(zhǎng)度就可以解決所求點(diǎn)的坐標(biāo)。幾何法的優(yōu)勢(shì)是計(jì)算量比較小，可以使得解題又快又準(zhǔn)確，但幾何法對(duì)作圖要求比較高，容易漏解。

（作者單位：上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)）