借鑒變異經驗，發展解題能力

彭永新

課標提出：數學活動經驗的積累是提高數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動的結果。因此通過數學解題教學幫助學生積累有效的數學活動經驗，應當成為我們教學的出發點和落腳點。筆者認為，在教學中教師需要在準確理解和把握教材編排意圖的基礎上，努力挖掘教材的深度和廣度，對習題加以適當的合理的變式拓寬，使之源于教材又高于教材，在此基礎上，啟迪學生運用類比、聯想、發散、特殊化和一般化等思維方法，開展富有變異特質的辨析活動，探索問題的發展變化，更深入地、更透徹地理解數學問題的本質，促使解題經驗產生深刻的“變異”，以形成足夠的應對未來變異的能力。

一、辯證看待學數學解題的目的：從聚焦問題求解到數學思想方法運用的升華

比如四上教學列表解決問題的策略：“小芳家栽了3行桃樹、8行杏樹和4行梨樹。桃樹每行7棵，杏樹每行6棵，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共多少棵？”先提出問題：你能想辦法整理題中的條件嗎？通過列表整理滲透著先分類再對應的數學思想。這就是一種分類思維的變異。接下來，為了強化這種分類和對應思想，教材呈現了不同結構的數學問題。

辨析1：教材P60頁練一練第1題，提出先利用表格整理條件和問題，再解答。解答后再引導比一比表格中的數據，使學生清楚地看到三人買的本數不同，總價也不一樣，但每人買的單價都是一樣的。

辨析2：可以將上面的問題改為：小明買3本筆記本，用去18元。小芳比小明多買2本，小芳用去多少元？列式計算18÷3×2=12元嗎？為什么？通過辨析“多買2本”的含義，理解到小芳買的本數多于小軍，所需的價錢也應高于18元。

辨析3：教材P63頁第16題“一種玩具飛機，原來每架90元，降價后，原來買6架的錢可以多買3架。降價后每家玩具飛機多少元？”這道題需要將條件和問題的信息分成“降價前”和“降價后”兩類數據進行一一對應。同樣也在解答后組織觀察和比較：降價前和降價后什么變了，什么沒有變？使學生體會到總價不變，單價降低了，數量就會變多。

這里的列表整理策略的教學，不僅指導學生學會列表，更重要的是指導學生學會看表、學會用數學思想方法來分析表、展開思維，學會根據實際問題靈活列表，體會列表的應用價值，形成策略意識，進而促進數學思想方法的升華，這才是我們數學解題教學的宗旨所在。

二、準確把握數學解題內容的變異特質：從傳統機械的題型訓練走向再生產性的經驗積累

比如教學：“小寧和小春共有郵票72枚，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？”啟發學生用線段圖整理題中的條件和問題：如果小春和小寧一樣多，需要減少12枚，這樣兩人總郵票枚數就變成72-12=60枚，可以求出小寧的郵票數量；如果小寧的郵票和小春一樣多，這樣總數量就增加12枚，達到72+12=84枚，進而可以求出小春的郵票數量。這其實就是假設的數學思想的萌芽建構。如果沒有假設這一思想的指引，學生是無法體會到線段圖的“幾何直觀”優點。

辨析1（練習八第2題）：“李娟在手工課上剪了3條同樣長的短花邊和1條長花邊，其中長花邊比短花邊長10厘米，每條短花邊長多少厘米？長花邊呢？”這道題由原來2個數量的比較，變化為3個相等的數量和另一個數量比較：只要把長花邊減去10厘米，變成短花邊，這樣就變成四根同樣長的短花邊了，使學生從中進一步體會畫線段圖整理信息的方法和描述分析問題的過程，感受畫線段圖的學習價值。

辨析2（練習八第10題）：“張寧和王曉星一共有畫片86張。王曉星給張寧8張后，兩人畫片的張數同樣多。兩人原來各有畫片多少張？”筆者在教學中，鼓勵學生用自己的辦法整理信息。有的孩子想到先列表再倒過來推算，有的則借助線段圖進行假設推理。最后讓學生們對兩種思路進行辨析，發現兩種思路都是可取的，從而豐富了學生對畫圖整理信息的策略認識。

三、創設變異的空間：從被動機械地模仿走向開放多元的解題經驗建構

如六下教學“策略的選擇和綜合應用”例2，就是一個極好的案例。教材首先問學生“解決這個問題，你準備用什么策略”，不要求說出解題思路和算法，而是鼓勵他們從已經學過的策略里自主選擇解題方法。比如，有人有次序地將各種可能一一列舉在一張表格里，分別計算每一種方案坐的人數，與42人比對，逐漸找到問題的答案。有人想到前面學過的畫線段圖經驗，先嘗試畫出長短不同的線段，再逐步得到了問題的答案。也有人這樣想：假設大船和小船都是5只，算出這些船一共可以坐40人，而40人比全班人數少2人，于是想辦法調整大、小船的只數：只需將一只大船調整為小船即可解決問題。

上面的教學過程，無論是畫圖、列表、枚舉、假設……都能形成思路，解題的思維方式極其靈活而富有綜合性。這一開放多元的教學過程，改變了以往的單純靠機械單一的重復訓練以達到問題解決的技能訓練思路，體現了變異教學的基本思路。通過過程變異，使學生學會舉一反三，在運用同樣的方法解決問題的過程中體會到獲取解題思路的策略，形成獲取思路的方法。

總之，今天我們重提解題能力訓練，絕不意味著走回應試教育的老路，相反是讓新課程理念落地的重要舉措。筆者堅信，沒有對解題能力的訓練，對學生進行所謂的數學思想感悟和活動經驗積累就是一句空話。通過對蘇教版教材中數學解題教學的思考與實踐，筆者認為借鑒變異思想，充實完善我們的解題教學行為，從聚焦問題求解到數學思想方法的提升，從傳統機械的題型訓練走向再生產性的經驗積累，從被動機械地模仿走向開放多元的解題經驗建構，可以促發我們的數學教育在中國特色的雙基教學道路上越走越遠。

【作者單位：蘇州工業園區星海小學 江蘇】