立足核心素養 多維剖析試題 探究創新解法
——以全國Ⅰ卷的理科壓軸題為例

安徽省太和縣太和中學(236600) 岳峻

立足核心素養 多維剖析試題 探究創新解法
——以全國Ⅰ卷的理科壓軸題為例

安徽省太和縣太和中學(236600) 岳峻

2016年安徽高考第一次回歸全國Ⅰ卷,引起了全體考生和中學數學教師的關注,特別對高考理科壓軸題,更是議論的重點.全國Ⅰ卷的第21題是一道導數應用問題,呈現的形式非常簡潔,考查了函數的雙零點的問題,與往年的形式有較大的變化,充分體現了高考試題的靈活性,其題意的理解不難,是考生實力與潛力的綜合演練場,但許多考生面對高考的參考答案大都感到“想不到”或“不自然”,費盡思考[1].

作為一線的教研工作者,筆者思考的問題很多,本文欲從考題和解答出發,理性的對這個考題進行多維剖析、探究和思考,旨為今后的高考命題和高考復習教學提供一點參考.

1 試題呈現

已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明x1+x2＜2.

2 多維解析

2.1官方解析

2.2第(1)問的多維剖析

剖析1 本題含有參數的函數f(x)有兩個零點,自然想到研究其單調性,結合零點存在性定理求a的取值范圍.

剖析2含有參數的函數f(x)的零點個數問題,可否轉化為兩個函數圖象的交點個數問題,應用數形結合思想來處理呢?

2.2第(2)問的多維剖析

剖析1 本問待證是兩個變量的不等式,官方解析的變形是x1＜2-x2,借助于函數的特性及其單調性,構造以x2為主元的函數.由于兩個變量的地位相同,當然也可變形為x2＜2-x1,借助于函數的特性及其單調性,構造以x1為主元的函數來處理.此法與官方解析正是極值點偏移問題的處理的通法[2].

解法1調整主元,殊途同歸

不妨設x1＜x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞), 2-x1∈ (1,+∞),f(x)在(1,+∞)上單調遞增,所以x1+x2＜2等價于f(x2)＜f(2-x1),即f(x1)＜f(2-x1).令u(x)=f(x)-f(2-x)=xe2-x-(2-x)ex(x＜1),則u′(x)=(x-1)(ex-e2-x)＞0,所以u(x)＜u(1)=0,即f(x)＜f(2-x)(x＜1),所以f(x1)=f(x2)＜f(2-x1);所以x2＜2-x1,即x1+x2＜2.

剖析2極值點偏移問題的解題策略：若f(x)的極值點為x0,則構造一元差函數F(x)=f(x0-x)-f(x0+x),巧借F(0)=0,借助于F(x)單調性比較x2與2x0-x1的大小,即比較x0與的大小,這也是極值點問題解決的通法[3].

解法2極值點對折,回歸本質

不妨設x1＜x2,由題意知f(x1)=f(x2)=0.要證不等式成立,只需證當x1＜1＜x2時,原不等式成立即可.

令F(x)=f(1-x)-f(1+x),則F′(x)=x(e1-xe1+x),當x＞ 0時,F′(x)＜0.所以F(x)＜F(0)=0.即f(1-x)＜f(1+x).令x=1-x1,則f(x2)= f(x1)=f(1-(1-x1))＜f(1+(1-x1))=f(2-x1),即f(x2)＜f(2-x1).而x2,2-x1∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上遞增,故x2＜2-x1,即x1+x2＜2.

剖析3極值點偏移問題的本質就是對數平均,因此,利用對數平均求解是極值點偏移問題的又一解題策略[4].本題是否可以轉化為對數平均問題進行求解呢?

剖析4含有參數的函數f(x)的零點個數問題,可以轉化為兩個函數圖象的交點個數問題,再探討極值點偏移問題來解決.

解法4變量分離,變形構造

由(1)解法3的結果,不妨設x1＜1＜x2,則只需證1＜x2＜2-x1,由于g(x)在(1,+∞)單調遞增,只需證g(x2)＜g(2-x1),由于g(x2)=g(x1)=-a,亦即g(x1)＜g(2-x1),下面證明?x＜1,g(x)-g(2-x)＜0,即?x＜1,(x-2)ex+xe2-x＜0.令h(x)=(x-2)ex+xe2-x,則h′(x)=(x-1)(ex-e2-x),因為x＜1,所以ex-e2-x＜0,所以h′(x)＞0,所以h(x)在(-∞,1)單調遞增,h(x)＜h(1)=0,問題得證.

剖析5 若f(x)的極值點為x0,則構造一元差函數F(x)=f(x0-x)-f(x0+x).能否通過換元轉化為極值點為0的t(x),通過研究t(x)的極值點偏移問題解決問題呢?

解法6換元轉化,化繁為簡

不妨設x1＜1＜x2,要證(x1-1)+(x2-1)＜0,只需證x1-1＜-(x2-1)＜0,令t=x-1,則只需證 t1＜-t2＜0,令 m(t)=(t-1)et+1+at2,則m′(t)=tet+1+2at=t(et+1+2a),則m(t)在(-∞,0)單調遞減,只需證m(t1)＞m(-t2),由于m(t2)=0=m(t1),只需證m(-t2)＜0,即(-t2-1)e-t2+1+at22＜0,由于(t2-1)et2+1+at22=0,只需證(t2-1)et2+(t2+1)e-t2＞0,令h(t2)=(t2-1)et2+(t2+1)e-t2(t2＞0),則h′(t2)= t2(et2-e-t2)＞ 0,所以h(t2)在(0,+∞)單調遞增,故h(t2)＞h(0)=0,從而得證.

解法7變量分離,換元轉化

剖析5極值點對稱構造是極值點偏移問題的解題策略之一,其實質就是對稱思想的靈活應用,因此也可以妙用對稱思想,結合數形結合思想加以求解.

解法8妙用對稱,數形結合

由(1)解法3的結果,g(x)在 (-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,如圖所示,作函數y=g(x)(x＜1)的圖象關于直線x=1的對稱圖象,其函數解析式為y=g(2-x)(x＞1),作直線y=-a與y=g(x)交于兩點(x1,-a),(x2,-a),與y=g(2-x)交于點(2-x1,-a),為了證明x1+x2＜2,只需證明x2＜2-x1,只需證明g(x)＞g(2-x)(x＞1)恒成立即可,而g(x)＞g(2-x)(x＞1)等價于x+x·e2-2x＞2(x＞1),令v(x)=x+x·e2-2x-2(x＞1),則v′(x)= (1-2x)·e2-2x+1＞0,所以v(x)=x+x·e2-2x-2(x＞1)單調遞增,v(x)＞v(1)=0,故得證.

圖2

3 思考

函數與導數既是高中數學最重要的基礎知識,又是高中數學的主干知識,還是高中數學的重要工具,在高考中占有舉足輕重的地位,其考查的內容和形式也是豐富多彩的.全國Ⅰ卷的理科21題呈現的形式簡潔,是一道符合課程標準和教材要求的,符合導向性的原則：導向性是指有利于學生進入高校繼續學習和有利于中學數學的素質教育,但是,其第(1)問送分不到位,第(2)問是雖然是見諸于許多期刊的極值點的偏移問題,對于學生而言,還是難度非常大的.

在學生基礎好的學?；虬嗉壔蛏贁祵W生,在學生能夠接受的前提下,高三的復習可以適度的延伸,也符合“不同的人在數學上得到不同的發展”的課程基本理念[5].延伸的關鍵是適度,一定要按照學生的接受能力作介紹和補充.

[1]岳峻.以數學審題探核心素養如何落地[J].數學通報,2016(11)：44-48.

[2]岳峻.主元法破解極值點偏移問題[J].中學數學,2016(12)：54-56.

[3]岳峻童永奇.對數平均數不等式鏈的幾何證明與變式探究[J].數學通訊(教師),2016(11)：41-43.

[4]岳峻.對數平均數不等式鏈的幾何解釋與應用[J].中學數學研究(華南師大),2016(11)：32-34.

[5]岳峻.提升數學思維素養的教學實踐與思考[J].中學數學(上旬), 2015(12)：96-98.