構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解多元不等式問題*

湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)南雅中學(xué)(410129) 石向陽

構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解多元不等式問題*

湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)南雅中學(xué)(410129) 石向陽

由于多元不等式問題呈現(xiàn)形式復(fù)雜多樣,解題思路靈活多變,具有結(jié)構(gòu)獨(dú)特、技巧性高、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),有時很難找到切入點(diǎn).如果能靈活構(gòu)建函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù),往往能獲得簡捷解決.解決此類問題的關(guān)鍵就是怎樣合理構(gòu)建函數(shù).從哪里入手,如何構(gòu)建函數(shù),構(gòu)建什么樣的函數(shù),本文就此問題作出探討.

一、巧妙消元構(gòu)建函數(shù)

因?yàn)槎嘣?所以通過消元來解決是很自然的想法.解題中,通過消元,分多為少、化繁為簡、變難為易,常可降低思維難度.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明f′(x0)＜0.

變式已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;

(2)若方程f(x)=2存在兩個不同的實(shí)數(shù)解x1、x2,求證：x1+x2＞2a.

評注本題第(2)問,x1+x2＞2a?x2＞2a-x1,利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為證明F(x2)＞F(2a-x1),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明F(x1)＞F(2a-x1),因而將兩個變量的不等式問題,轉(zhuǎn)化為一個變量的不等式問題.構(gòu)建函數(shù)g(x)=F(2a-x)-F(x)＜0=g(a),只需證明g(x)在上x∈(0,a]單調(diào)遞增即可.

二、整體換元構(gòu)建函數(shù)

在處理多變元函數(shù)問題中,用新元去代替該函數(shù)中的部分(或全部)變元.從而使變量化多元為少元,即達(dá)到減元的目的.問題中的參數(shù)減少了,復(fù)雜問題就簡單化、明朗化了,這就是換元思想獨(dú)到的作用.

例2 已知函數(shù)f(x)=ekx-2x(k為非零常數(shù)),對于f(x)增區(qū)間內(nèi)的三個實(shí)數(shù)x1,x2,x3(其中x1＜x2＜x3),證明

評注本題是多元不等式的證明,在變形過程中發(fā)現(xiàn)式子中出現(xiàn)一個整體k(x1-x2),此時巧妙地運(yùn)用換元法化簡式子,把二元問題化歸為一元問題.構(gòu)建函數(shù)使問題得以轉(zhuǎn)化.一般地,變形過程中若出現(xiàn)指數(shù)形式ekx2-ekx1=ekx2[1-ek(x1-x2)],可考慮對作整體k(x1-x2)換元.

三、利用相似結(jié)構(gòu)構(gòu)建函數(shù)

有些多元不等式問題,可以通過分離變量,凸顯出原不等式隱藏的規(guī)律,即左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征相似,這時可以構(gòu)建函數(shù),利用單調(diào)性解決.

例3 已知f(x)=x-alnx(a＜0)對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個不等的實(shí)數(shù)x1,x2恒有|f(x1)-f(x2)|＜求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析對原不等式進(jìn)行變形,構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)行參變分離,求出的取值范圍.

評注例題3中已知條件變形后得到不等式兩邊有相似結(jié)構(gòu),于是構(gòu)建函數(shù)g(x)=f(x)+4x.

靈活地針對不同的特征構(gòu)建出相應(yīng)的函數(shù),這也需要我們平時注意積累,掌握一些常見解題模式.

此兩題不等式m,n位置交錯,無法直接構(gòu)建函數(shù),考慮到是冪指數(shù)不等式,嘗試兩邊取對數(shù),發(fā)現(xiàn)原不等式變得非常“和諧”.再根據(jù)結(jié)構(gòu)特征很容易構(gòu)建出相應(yīng)的函數(shù).事實(shí)上,這種取對數(shù)使函數(shù)結(jié)構(gòu)顯露出來的方法是處理此類問題非常重要的手段.

四、設(shè)定主元構(gòu)建函數(shù)

在許多數(shù)學(xué)問題中,都含有常量、參量、變量等多個量.通常情況下,有一些元素處于突出和主導(dǎo)地位,可視之為主元;為了解決問題,也可人為突出某個量的地位作用,先將其當(dāng)作主元;其它變元看作常數(shù),來構(gòu)建函數(shù),再用函數(shù)求導(dǎo)知識,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解.

例4 已知函數(shù)g(x)=xlnx.設(shè)0＜a＜b,證明

分析所證不等式中有兩個變量a,b,從中選一個為自變量,另一個看成常數(shù),構(gòu)造相應(yīng)函數(shù),通過求解函數(shù)最值證明原不等式.

評注本題以b為主元構(gòu)造函數(shù),當(dāng)然也可以以a為主元構(gòu)造函數(shù),方法類似,讀者不妨一試.

變式1 已知x,y,z為滿足x+y+z=1的非負(fù)實(shí)數(shù),求證：,并指出號成立的條件.

變式2 設(shè)a≥b＞0,求證：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.

證明構(gòu)建以a為主元的函數(shù)f(x)=3x3+2b3-2bx+ 2b3(x≥b),f′(x)=9x2-6bx-2b2=(3x-b)2-3b2≥b2≥0(x≥b),所以f(x)在x∈[b,+∞)上單調(diào)遞增,得出f(a)≥f(b)=0.

評注視一個變量為主元,其它變量作常量來處理,這是多元不等式證明的一種重要思想.同時,主元策略還表現(xiàn)于主元選擇的變通性,選擇不同的主元,對于結(jié)構(gòu)不對稱的式子能形成不同的解題途徑.

五、逆轉(zhuǎn)主元構(gòu)建函數(shù)

解決數(shù)學(xué)問題時,大多是從條件出發(fā),借助于一些具體的模式和方法,進(jìn)行正面的、順向的思考.如果正向思維受阻,那么“順難則逆、直難則曲、正難則反”.在多元不等式問題中,逆轉(zhuǎn)主元思想常使思考產(chǎn)生新的源泉.

例5 設(shè)f(x)=,對任意實(shí)數(shù)t,記gt(x)=求證：

(1)當(dāng)x＞0時,f(x)≥gt(x)對任意正實(shí)數(shù)t成立;

(2)有且僅有一個正實(shí)數(shù)x0,使得g8(x0)≥gt(x0)對任意正實(shí)數(shù)t成立.

評注含參數(shù)問題通常含有兩個或兩個以上變元,習(xí)慣上我們把“x”當(dāng)作自變量.第(1)問中的方法一就是以x為自變量構(gòu)建函數(shù)求解,這是常規(guī)思路;方法二是視t為變量, x為常量,構(gòu)建函數(shù)求解,這時就實(shí)現(xiàn)了自變量換位.兩種方法的可行性體現(xiàn)了變量的相對性.但對于第(2)問,如果仍把“x”當(dāng)作自變量,這種思維定勢就會把問題變得相當(dāng)復(fù)雜,這時用逆轉(zhuǎn)主元的思想將x與t角色換位,問題迎刃而解.一般地,可把已知范圍的那個看作自變量,另一個看作常量.

六、考慮導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)建函數(shù)

若題設(shè)中出現(xiàn)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式,則往往是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計算后而設(shè)計的,所以我們應(yīng)多從這個角度考慮如何構(gòu)建函數(shù).根據(jù)條件式特征,積極展開聯(lián)想,借助求導(dǎo)法則,如和差求導(dǎo)、積商求導(dǎo)法則等,恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù),以便順利解決目標(biāo)問題.

例6 已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0.對于任意正數(shù)a,b,若a＜b,則必有( )

A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)

C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)

評注一般來說,有下面的規(guī)律：

*本文是湖南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度課題《創(chuàng)新應(yīng)用導(dǎo)向的小課題研究》(課題批號：XJK016BZXX044)研究成果.