借力降冪放縮法 巧證數列不等式*

廣東省興寧市第一中學(514500) 藍云波

借力降冪放縮法 巧證數列不等式*

廣東省興寧市第一中學(514500) 藍云波

通過對一道數列不等式證明方法的改進,探究了一類含指數式的數列不等式的證明通法.使這種通法上升到一定的理論高度,得出證明一類數列不等式的降冪放縮法.并使降冪放縮法得到較為廣泛的應用,提高了解題效率.

數列不等式 并項放縮 通法 降冪放縮

一、問題的提出

筆者在高三數列復習課中,偶遇下面一道試題.

例1(廣東省汕頭市2014屆普通高考模擬考試)設數列{an}的前n項和為Sn,已知3Sn=an+1+(-2)n+2-6, n∈N?,a1=2.

(1)求a2的值;

(2)求數列{an}的通項公式;

分析本題是一道經典的數列綜合解答題.筆者在講解此題前,在充分備課后,感覺此題第三問如果按照官方解法給學生講解,勢必會不太順利,效果可能也會不佳.但基于“并項放縮法”是數列不等式證明的重要方法.筆者仍然講述了這一方法.

評注本題證法繁瑣,放縮的度也不好把握,而且要分奇偶數證明,解題效率不夠高.

講解完畢后,果然不出筆者所料,學生普遍很難接受,甚至有不少學生抱怨聽不懂.這是可以預想到的.因為此種方法使用了比較少用的“并項放縮法”.且對此題而言,這種方法確實不夠高效.運算量較大,極易出錯,放縮的度也不好把握,還要把n分奇、偶數進行討論,而且當n為偶數時,還要借助前面n為奇數的結論.特別是在考試中,要想成功解答,恐非易事,甚至有全軍覆沒的可能.基于這些原因,筆者想找尋一種學生比較容易接受的通法解答此題.下面把探索過程分析如下.

二、通法的尋找

為了獲取更為高效、自然的解法,筆者通過翻閱大量資料發現,此類試題給出的答案大都是使用上述的并項放縮法,雖然有少數文章也有其他證法,如通過加強不等式,利用數學歸納法證明,但均具有較大的難度.為獲取更為優越的方法,筆者通過對例1所要證明的數列不等式所具有的結構特征觀察,發現該不等式含有指數式.于是在探索的過程中,特意選取了含有指數式的數列不等式試題進行借鑒,通過一番探索之后,終有所獲.

例2(2014年高考全國卷2理科)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

分析此題中由于不是等比數列,不能直接求和,結合此題含有指數式,故我們可想辦法進行放縮,使得放縮后變為等比數列求和問題.若我們能把3n的冪指數降低,進行分拆,并把分拆出來的一部分項進行放縮,則能實現問題的解決.而且這種方法是比較自然,也是比較接地氣的一種.

評注此題有多種方法,如數學歸納法,利用糖水不等式,利用二項式定理放縮,利用裂項放縮等.但這種方法起點低,學生理解起來也比較容易,不失為一種較好的方法.

例3(2012年高考廣東卷理科)設數列{an}的前n項和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N?.且a1,a2+5,a3成等差數列.

(1)求a1的值;

(2)求數列{an}的通項公式;

評注同例2一樣,此題也可用多種方法證明.但利用此法證明,可看作是例2的變式.使不同的問題殊途同歸.

筆者通過研究發現,上述試題表面上似乎關聯不大,試題的難度也不盡相同,但其中放縮的關鍵步驟卻有共同的地方.于是筆者想對這些試題進行分析歸納,以得出一種證明一類含指數式的數列不等式的通法.例2、例3都是通過把分母中指數式的冪指數降低,然后進行拆項放縮,因此我們可以把這種方法予以命名,稱之為—“降冪放縮法”.

三、問題的解決

通過對以上兩例的分析,我們發現,例1也含有指數式,而且與例3較為相似,但實際上難度卻大很多,但我們仍然可嘗試用降冪放縮法證明例1.

評注此題看似不能用降冪放縮法證明,但通過一番探究后,終于實現問題的解決,放縮的度的把握,把冪指數的進一步降低后進行分拆、放縮是成功的關鍵.與官方解答相比,顯然高效得多,且是解決含指數式的數列不等式的通法,顯然自然,容易理解得多.確實是一種好方法!

四、題源分析

例1是一道經典的數列不等式問題,筆者通過翻閱資料發現,該題源于2004年高考全國卷3理科數學第22題.

設數列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=2an+ (-1)n(n≥1).

(1)求{an}的通項公式;

五、方法的應用

例4(廣東省韶關市2014屆高三年級調研測試)已知{an}為公差不為零的等差數列,首項a1=a,{an}的部分項ak1,ak2,ak3,···,akn恰為等比數列,且k1=1,k2= 5,k3=17.

(1)求數列{an}的通項公式an(用a表示);

(2)設數列{kn}的前n項和為Sn,求證：(n是正整數).

通過對以上幾道例題的分析,我們發現,降冪放縮法在證明一類含指數式的數列不等式中具有高效快速特點,并能達到舉一反三的效果,證明具有通性通法,思維抽象性較低,易于操作,是一種能殺敵于無形之中的好方法.筆者在探索成功之后,用降冪放縮法給學生進行再次講解,效果明顯好很多.在提高習題教學的有效性的同時,也達到了教學相長的效果.最后,筆者提供2道經典的相關習題給讀者思考.讀者可運用降冪放縮法進行解答,相信會對降冪放縮法有更深入的理解和體會,并能在解題中靈活運用.

題1(2014年廣東省揭陽市二模)已知等比數列{an}滿足：a2=4,公比q=2,數列{bn}的前n項和為Sn,且

題2(2015年安徽無為一中第四次月考)現有六名籃球運動員進行傳球訓練,由甲開始傳球(第一次傳球是由甲傳向其他五位運動員中的一位),若第n次傳球后,球傳回到甲的不同傳球方式的種數記為an.

[1]崔志榮.數學方法教學的實踐與思考—以一道數列高考題為例[J].中國數學教育,2014(3)：25-28.

[2]黃俊峰,袁方程.從一道2014年高考題談高考數列不等式的證明[J].數學教學研究,2015(9)：53-57.

本文是廣東省教育科學規劃立項課題“山區高中數學分層教學的策略研究”的階段性研究成果.課題批準編號：2013YQJK195.