對一道解析幾何模擬試題的研究與推廣

姜 文盧焱堯

1.貴州師范大學數學科學學院(550001)2.貴州省貴陽市第二中學(550001)

對一道解析幾何模擬試題的研究與推廣

姜 文1,2盧焱堯2

1.貴州師范大學數學科學學院(550001)2.貴州省貴陽市第二中學(550001)

研究一道模擬試題及解法,并對其結果進行推廣,形成兩個定理;在應用定理的基礎上對其作適當的轉換和延伸,得到三個有用的結論.研究成果對解決圓錐曲線的難題起到積極作用.

圓錐曲線 模擬試題 軌跡方程 推廣

一、試題呈現

試題1(四川宜賓2015屆第一次診斷)已知焦點在x軸上的橢圓=1(a＞b＞0),焦距為長軸長為4.

圖1

(1)求橢圓的標準方程;

(2)如圖1,過點O(O是橢圓的中心)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點.

二、試題研究

就本題第(2)問的第①小問來說,它給我們傳遞兩個信息：第一,直線AB的自由度很大,只要它與橢圓相交就行,沒有其它限制條件;第二,只要直線與橢圓的交點A,B滿足OA⊥OB,橢圓的中心O到直線AB的距離就是定值.這就啟示我們思考兩方面的問題：其一,若直線與橢圓相交于A,B兩點,且橢圓的中心O到直線AB的距離為定值時,OA和OB有什么關系?其二,對于任何一條與橢圓(a＞b＞0)相交的直線l,是否依舊存在上述的關系?通過對這兩個問題的探究,得到以下一般性的結論,現以定理的形式呈現.

三、結論推廣

定理1 設O是坐標原點,直線l與橢圓1(a＞b＞0)相交于不同的A,B兩點,則OA⊥OB的充要條件是O到直線l的距離為定值

對于焦點位于y軸的橢圓,結論是一樣的.

定理2 設O是坐標原點,直線l與雙曲線1(a＞0,b＞0)相交于不同的A,B兩點,則當b＞a＞0時, OA⊥OB的充要條件是O到直線l的距離為定值當a≥b＞0時,不存在OA⊥OB的可能.

四、應用與延伸

以上述結論為背景命制的高考試題是常見的,如下是眾多試題中的一例：

試題2 (2009年山東卷理科22題)設橢圓

(1)求橢圓E的方程;

(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍;若不存在,請說明理由.

這是一道典型的圓錐曲線探索性問題,難度很大.如果熟悉上述結論,則會相對容易些.事實上,如果存在滿足條件的圓,則該圓的半徑應該等于于是可以類似于定理的證明給出該題（2）的解答.這里給出第(2)問第一部分的解答如下：

結合試題2及其解法,我們不難將上述定理延伸成下面的結論：

結論1 設直線l:y=kx+m與橢圓1(a＞b＞0)相交于不同的A,B兩點,O為坐標原點,當OA⊥OB時,作OM⊥AB交AB于M,則點M的軌跡是一個以O為圓心,為半徑的圓.

結論2 設直線l:y=kx+m與雙曲線1(b＞a＞0)相交于不同的A,B兩點,O為坐標原點,當且OA⊥OB時,作OM⊥AB交AB于M,則點M的軌跡是一個以O為圓心,為半徑的圓.

結論3 設直線l:y=kx+m與拋物線y2=2px(p＞0)相交于不同的A,B兩點,O為坐標原點,當OA⊥OB時,作OM⊥AB交AB于M,則點M的軌跡是一個以(p,0)為圓心,p為半徑的圓(去掉原點O).

以上結論請讀者自證.

[1]楊文彬主編.高考必刷題合訂本(數學)[M].北京：外語教學與研究出版社,2015,