淺談洛必達法則的實用性

焦淑芬

[摘 要]本文通過實例對運用洛必達法則求極限方法進行分析，介紹了基本型及其它未定式的解題技巧，同時指出注意洛必達法則適用條件與其它方法結合的必要性，從而更好地解決在學習過程中的未定式問題。

[關鍵詞]洛必達法則；未定式；適用條件

在高等數學學習極限這一章中，對于比較特殊的求極限的問題，學生在老師的指導下，通過學習洛必達法則，可以在求解特殊的極限問題時，能夠有效地應用所學的洛必達法則，使得求解問題簡單化。

洛必達法則講述的是：若在某一變化過程中，兩個函數y=f（x）與y=g（x）都趨于零或都趨于無窮大，可能存在也可能不存在。通常稱這種極限為未定式，并分別簡化為型或型。

運用洛必達法則求極限，是處理未定式極限問題的有力手段，便在具體應用時需注意：

（1）要驗證題目是否符合洛必達法則的條件，確定屬于型或型未定式方可應用洛必達法則，并且每一次都需要驗證。

（2）在計算未定式極限問題時，洛必達法則不一定是最簡單的方法，更不是萬能的方法，應注意與其它方法的結合，如利用重要極限，等價無窮小替代。

（3）利用洛必達法則得出的極限不存在，不能說明原極限不存在，此時應考慮用其它方法。

對于這類型的極限，我們可用以下定理。設f（x）， g（x）滿足條件：

（1）在x0點的某鄰域內（x0可除外）可導，且g' （x）≠0。

（2）。

（3）（或∞）。

則（或∞）。

對于x→x0時的型的未定式也有相應的洛必達法則。

對于o·∞型，∞-∞型，1∞，O0，∞0型也可使用此法則，下面針對以上七種類型加以舉例。

1.型未定式

2.型未定式

3.o·∞型未定式

4.型未定式

5.型未定式

6.型未定式

7.型未定式

可見，使用洛必達法則，要先確定式子是不是這七種類型的未定式，再檢查是否滿足洛必達法則的條件，以確定能不能用該法則。

例：求極限。

通過判定，它是一個的極限，求解首先把它變成為的形式，也就是成為的極限，符合洛必達法則。

原式

對于

化簡成為

因為

∴原式

從這題我們從型變成型，之后再變成型的極限，始終圍繞著洛必達法則，使得問題簡化。

從上述7個方面探討了利用洛必達法則求未定式極限的方法與技巧，其中最常用的方法與技巧是把求極限的多種方法與技巧綜合運用，只有這樣，才能使運算簡捷，達到運用自如的境地。應用洛必達法則求極限，要想達到熟練準確，不僅要熟練掌握洛必達法則的結論，還要特別注意法則的條件要求。總之，通過討論學生對法則的條件有了更深入的理解，從而提高了學生應用洛必達法則解決問題的能力和幫助學生在學習過程中避免盲目地套用公式，導致出現解題錯誤。希望以上內容對于學生們更好的應用洛必達法則能夠起到指導意義。

參考文獻：

[1]《高等數學》何瑞文等.西南交通大學出版社，2003年8月第1版.

[2]李碧榮，楊立英.高等數學“以錯糾錯”教法淺談[J] .廣西師范學院學報，2005，22（4）：83-86.

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