淺談高中數學解題能力的培養

梁禮華

【摘要】 數學解題能力是一種綜合的能力，是指綜合運用數學基礎知識、基本方法和邏輯思維規律，整體發揮數學的基本能力和思維水平，對數學問題進行分析、解決的能力.因此，在教學中，要提高學生的解題能力，不僅要抓住基礎知識、基本能力的學習，更重要的是要進行解題實踐，即遵循科學的解題程序，有目的、有計劃地引導學生“在游泳中學會游泳”，在親自參與的解題實踐過程中，學會解題，從中獲得能力.

【關鍵詞】 高中數學；解題能力；培養

“問題”是數學的心臟，美國數學家哈爾莫斯認為，“數學的真正的組成部分是問題和解，掌握數學就是意味著善于解題”.解題是使學生牢固掌握數學基礎知識和基本技能的必要途徑，也是檢驗知識、運用知識的基本形式.數學學習的好與壞，集中表現在解題能力上.有效地培養數學解題能力，有助于學生獨立的有創造性的認識活動，也可以促進學生數學能力的發展.那么，如何在數學課堂教學中循序漸進地培養學生的解題能力呢？筆者結合多年的教學實踐，談談幾點看法，以期起到拋磚引玉的效果.

一、重視基礎知識的掌握，拓寬解題思路

知識是能力的載體，離開知識載體的能力是不存在的.在日常教學中，教師應重視學生對數學基礎知識的梳理和把握，形成知識網絡.數學基礎知識的教學，重點是數學概念的教學，數學概念是數學思維的細胞，數學中的一切分析、判斷、推理都是要依據概念、公式、定理，才能掌握解題的技能和技巧，才會有正確、合理的邏輯論證和空間想象能力.可見，數學概念是解題的理論基礎和有力武器，是解題的關鍵所在.因此，在基礎知識的教學中，要重視數學概念的教學，挖掘概念的內涵和外延，了解各知識間的聯系，深化數學知識的應用.做到這些，在教學中我們就要采用課堂檢測、課堂精講、課后練習、基礎反思的形式來提高學生掌握基礎知識的能力.同時，每章、每節進行“一步一回頭”，歸納其重點、難點，使學生掌握基礎知識和解題的基本技能，把感性認識上升到理性認識.

解題過程中，教師要引導學生充分利用所掌握的基礎知識，分析題設條件，達到一題多解、多解歸一的功效，進一步拓寬解題思路.一題多解，有利于溝通各種知識的內涵和外延，深化知識的應用，培養學生的發散性思維和創造性思維；多解歸一，有利于提煉分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優，培養學生的聚合思維.

二、養成仔細、認真地審查題意的習慣

審題是對條件和問題進行全面認識、對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究的過程，它是如何分析和解決問題的前提.審題能力主要是指充分理解題意、把握住題目本質的能力；也是分析、發現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力.審題為探索解題途徑提供了方向，因此，教學中要求學生養成仔細、認真的審題習慣，就是要對問題的條件、目標及有關的全部情況進行整體認識，充分理解題意，把握本質與聯系，不斷提高審題能力.具體地說，就要做到以下四項要求：

1.全面了解題目的文字敘述，清楚地理解全部條件和目標，并能準確地復述問題、畫出必要的準確圖形或示意圖；

2.整體考慮題目，挖掘題設條件的內涵，溝通聯系，審清問題的結構特征.必要時，要會對條件或目標進行化簡或轉換，以利于解法的探索；

3.發現比較隱蔽的條件；

4.判明題型，預見解題的策略原則.

三、探索解題途徑，發現解題規律、掌握解題方法

（一）幫助學生掌握解題的科學程序

解答數學試題有一定的規律可循，解題操作要有明確的思路和目標，要做到思維模式化.所謂模式化也就是解題步驟固定化，其一般程序是：

（1）審題.準確地認清題目條件和目標及其“環境”狀態.

（2）探求解題方案.認真分析題目中的條件及各種量之間的關系，探求正確的解題方案.

（3）解題.從已知條件出發，采用恰當的方法，實施解題方案，落實解題過程，求得結果達到目標.

（4）檢驗與深化.對結果進行判別，對解題過程進行回顧與探討，對條件或目標或解題方法進行拓寬推廣加以深化.

（二）挖掘教材，重視例題等的典范作用

解題教學的本質是“思維過程”，受年齡等因素的限制，學生思維發展有其特定的規律，這需要解題教學遵循學生認知特點，進行有針對性的訓練.教科書上的內容，尤其是定理的推論和相關的例題，不可能面面俱到，留給了教師和學生一定的教與學的再思考、再探究的余地，為教師引領學生進行知識的延伸及再創造留下了很好的思維空間和提高鍛煉思維能力的教學機會.在師生共同深入研究課本定理、定義、例題的過程中，我們時常會發現學生思維的火花，學生創造性思維能力得以體現，智力水平得到升華.

記得在解析幾何的一節復習課中，我講了一道例題：

已知：圓的方程是x2+y2=r2，求圓上一點M（x0，y0）的切線方程.其結論為x0x+y0y=r2（解略）.

可引導學生探究引申，由本題結論可得到以下結論：

推論（1） 過橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1上一點M（x0，y0）的橢圓的切線方程為 x0x a2 + y0y b2 =1.

推論（2） 過雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1上一點M（x0，y0）的雙曲線的切線方程為 x0x a2 - y0y b2 =1.

（三）要重視“數學思想方法”的滲透

實際上數學思想方法較之數學基礎知識，有更高的層次和地位.它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，是一種數學意識，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決.數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段.只有對數學思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時得心應手；只有領悟了數學思想與方法，書本的、別人的知識技巧才會變成自己的能力.在講題過程中，我也堅持不懈地對學生進行數學思想方法的培養，并注意思路點撥，收到了較好的效果.

比如，解方程3x=2-x.

分析：由方程兩邊的表達式我們可以聯想起函數y=3x與y=2-x，畫出這兩個函數的圖像（如圖），這兩個函數圖像交點的橫坐標為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4.

數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質.另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.

由此，把數學中重要的數學思想方法穿插于課堂中，潛移默化，有意識地培養學生思維的廣度，不僅達到事半功倍的效果，還可激發學生學習數學的興趣.教師要在解題過程中足夠重視，學生才能在潛移默化中提高解題的能力.

（四）要重視錯題的再利用

對于數學學科，做題是必需的.教師要指導學生做一定數量的數學習題，積累解題經驗、總結解題思路、形成解題規律、催生解題靈感、掌握學習方法.

平時教學中我要求學生對錯題進行詳解.不管填空、選擇還是解答題，對于錯題我會在課堂上留出一定的時間要求學生用紅筆寫出解題過程.一個單元以后抽出時間來進行錯題回顧.考試前對章節錯題進行討論、反思.

數學教學中題目之多可謂層出不窮，題型之多可謂千變萬化，在這種背景下，解題的目的不應該僅僅在于滿足解題的數量、過程和結果，教師更應該加強解題后指導學生對錯題的精心分析與反思，重視錯題的輻射作用，發揮潛藏于錯題本身的其他功能.

四、回顧與探討解題過程，養成解題后反思習慣

孔子云：“學而不思則罔.”“罔”即迷惑而沒有所得，目前上下都要求教師要有教學反思.那么對于學生呢？實際上我認為學生的學習更需要總結、更需要反思，尤其是解題后的反思.解題后的回顧與探討、分析與研究就是對解題的結果和解題的方法進行反省，對解題中的主要思想觀點、關鍵因素及類同問題的解法進行概括、推廣，從而幫助學生從中提煉出數學基本思想和基本方法加以掌握，成為以后解新的問題時的有力工具.因此，使學生養成解題后的反思習慣，是解題教學非常重要的一環，必須十分重視.

在解題實踐過程中，學生通過自主探究，不斷反思，勇于批判，豐富和完善自己的思維內涵和品質，為創新思維打下堅實的基礎.

上面的案例是通過應用數學歸納法解題后，我們反思有關自然數命題的證明方法的結果.數學歸納法常常用于證明與自然數有關命題，但它不是證明與自然數有關命題的唯一方法，也不一定是最佳選擇.解題時要根據題目條件靈活取舍，比如，應用組合數理論，對有關自然數命題的證明可達到意想不到的效果.