數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

吳明飛

【摘要】 數(shù)學(xué)思想是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高.掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.而函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)最常用的數(shù)學(xué)思想，也是歷屆高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想；函數(shù)與方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類(lèi)討論思想；轉(zhuǎn)化與化歸思想

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性的最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是史地發(fā)展著的.

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、隱含條件思想、類(lèi)比思想、建模思想、歸納推理思想、極限思想.其中，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)最常用的數(shù)學(xué)思想，也是歷屆高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).下面就來(lái)探究一下這些常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用.

一、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是摒棄所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征，在分析與研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的知識(shí)或函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)觀(guān)察、認(rèn)識(shí)、分析、解決問(wèn)題的思想方法.

函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助初等函數(shù)的圖像或性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證明）不等式、解方程或求方程解的個(gè)數(shù)、求函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題.二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.如，數(shù)列中有關(guān)最值問(wèn)題.

方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后，通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解.有時(shí)，還需要函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀(guān)的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，將抽象思維與形象思維相結(jié)合的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合應(yīng)用包括以數(shù)解形和以形助數(shù)兩方面.在解題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法往往可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的.例如，方程 1 x-1 =2sinπx在區(qū)間[-2 015，2 017]所有根之和等于 .在解答時(shí)，要想求出本題在區(qū)間[-2 015，2 017]上所有根的具體值不太現(xiàn)實(shí)，因此，只能結(jié)合函數(shù)y= 1 x-1 與函數(shù)y=2sinπx，x∈[-2 015，2 017]的圖像特征，即兩函數(shù)圖像都關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，從而選擇數(shù)形結(jié)合法，如下圖：

進(jìn)一步得出答案4 032.

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀(guān)易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野.

三、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題因某種量或圖形的情況不同而有可能引起問(wèn)題的結(jié)果不同時(shí)，需要對(duì)這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分別討論的思想方法就叫分類(lèi)討論思想.實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.

在高中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論很多，如，集合中求參數(shù)的值（或取值范圍）時(shí)，會(huì)對(duì)集合是否為空集進(jìn)行討論；涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)底數(shù)是參數(shù)，又要用到指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)往往要對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論；三角函數(shù)求同角的三角函數(shù)值，但又不清楚角所在的象限時(shí)要對(duì)角終邊所在象限進(jìn)行討論.

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在解決問(wèn)題時(shí)，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科相比，一個(gè)特有的數(shù)學(xué)思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.因此，每解一道題，無(wú)論是難題還是易題，都離不開(kāi)化歸.例如，對(duì)于立體幾何問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題；對(duì)于多元問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為少元問(wèn)題；對(duì)于高次函數(shù)（或高次方程）問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為低次問(wèn)題，特別是熟悉的一次、二次問(wèn)題.對(duì)化歸思想的考查，總是結(jié)合對(duì)演繹證明、運(yùn)算推理、模式構(gòu)建等理性思維能力的考查進(jìn)行，因此，可以說(shuō)每一道試題，都在考查化歸意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力.因此，重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.