關于偏微分線性算子教學的若干探討

禹曉紅

【摘要】 偏微分線性算子是高等數學中的一個非常重要的內容，本文主要對偏微分線性算子及其數學表達方式的教學進行了詳細的介紹與闡述，尤其是對其在相關領域（如工程技術及物理學）中的實際應用的教法進行了探討.

【關鍵詞】 線性算子；偏微分；教學；應用

偏微分線性算子作為偏微分領域更為深入的算法，在諸多領域均可被應用，如，工程技術以及物理學之中的拉普拉斯（Laplace）算子中就有關于偏微分線性算子的應用.本文主要采用推理、演算的方法對偏微分線性算子教學進行著重闡述與研究.

一、線性算子的定義

線性空間V到自身的映射通常稱為V上的一個變換.同時，具有以下定義：線性空間V上的一個變換A稱為線性變換，如果對于V中任意的元素α，β和數域P中任意k，都有

A（α+β）=A（α）+A（β），

A（kα）=kA（α）.

線性代數研究的一個對象，即向量空間到自身的保運算的映射.例如，對任意線性空間V，位似是V上的線性變換，平移則不是V上的線性變換.對線性變換的討論可借助矩陣實現.σ關于不同基的矩陣是相似的.Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）稱為σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}稱為σ的象，是刻畫σ的兩個重要概念.

對于歐幾里得空間， 若σ關于標準正交基的矩陣是正交（對稱）矩陣，則稱σ為正交（對稱）變換.正交變換具有保內積、保長、保角等性質，對稱變換具有性質：〈σ（a），β〉= 〈a，σ（β）〉.

在數學中，線性映射（也叫作線性變換或線性算子）是在兩個向量空間之間的函數，它保持向量加法和標量乘法的運算.術語“線性變換”特別常用，尤其是對從向量空間到自身的線性映射（自同態）.在抽象代數中，線性映射是向量空間的同態，或在給定的域上的向量空間所構成的范疇中的態射.

線性變換（算子）示意圖

二、向量及其運算法則

在數學中，將向量做如下定義，即：不僅有大小，而且還有方向的量，若僅有大小而無方向，在數學中則稱為“標量”.根據向量及標量兩個定義，可將其推廣至函數運算之中，于是演變成為“標量函數”與“向量函數”，前者主要指的是純函數值，后者則為取向量值的函數.對于一個3D直角坐標系而言，習慣上采用 i，j，k 分別表示x軸、y軸以及z軸正方向上的單位向量.于是對于任意一個3D向量 a 而言，則可采取如下形式進行表示：

a = ia 1+ ja 2+ ka 3.

上式中，一般將 a 1， a 2及 a 3稱為分向量，一般將分量均為常純量的向量稱之為“常向量”，而分量均為函數的向量稱之為“向量函數”.純量主要包括常純量及純量函數，向量主要包括常向量與向量函數.

對于向量以及向量函數而言，一般具有數乘、加法、點乘、叉乘、長度、偏導數以及積分7個方面的運算法則.具體而言，算法如下所示：

（1）數乘：α（ ia 1+ ja 2+ ka 3）= i （α a 1）+ j （α a 2）+ k （α a 3）；

上式中，α屬于純量，即標量.

（2） 加法：（ ia 1+ ja 2+ ka 3）+（ ia 1+ jb 2+ kb 3）= i（a1 + b1） + j（a 2+ b 2）+ k （ a 3+ b 3）；

（3） 點乘： （ia 1+ ja 2+ ka 3）·（ ib 1+ jb 2+ kb 3）= a 1 b 1 + a2b2 + a3b 3；

（4）叉乘： （ia1 + ja 2+ ka 3）×（ ib 1+ jb 2+ kb 3）= i a1 b1j a2 b2k a3 b3 = i（a2b3 - a3b2） + j（a3b1 - a1b3） + k（a1b2 - a2b1） ；

（5）長度： |ia1 + ja 2+ ka 3|= a 21+ a 22+ a 23 ；

（6）偏導數： x （ia1 + ja 2+ ka 3）=i a 1 x + j a 2 x + k a 3 x ；

（7）積分：∫ （ia1+ja2+ka3） dx= i ∫ a 1dx= j ∫ a 2dx+ k ∫ a 3dx.

向量函數的微分以及關于其他自變量的偏導數或積分等運算，具體的計算方法均可進行全面推廣.對于向量函數而言，它的微分或者偏導數存在如下幾個方面的運算性質：

（1）d（α a +β b ）=αd a +βd b ；

（2） d（ a · b ）=（d a ）· b + a ·（d b ），d（ a × b ）=（d a ）× b + a ×（d b ）；

（3） a · b x =（ a · b ） x ， a × b x =（ a × b ） x .

三、拉普拉斯（Laplace）算子

在高等數學中，一般將此類型算子記為“

四、結 論

對于偏微分線性算子而言，主要綜合了偏微分與向量兩大部分的內容，在實際教學過程中，應該注意運算法則的演算，并注意在實際教學過程中將其應用于實際之中.

【參考文獻】

[1]郭時光.偏微分線性算子的教學[J].科學與致富，2011（10）：20-21.

[2]郭時光.關于譜半徑的一個不等式及其應用[J].科教導刊，2010（2）：53-55.