外形促建構(gòu) 意義促提升

楊凱明

在乘法的運算律中，乘法分配律是一個重點。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時，難在對其意義的理解及靈活運用。盡管教學(xué)時提供了大量素材和實例作表象支撐，但學(xué)生在概括乘法分配律的定義時，總不如概括交換律和結(jié)合律那么順暢和準(zhǔn)確。學(xué)生對于乘法分配律的認(rèn)識要達(dá)到抽象化和精致化，就需要在學(xué)習(xí)中有一個不斷積蓄的過程，要讓乘法分配律不再成為難點，就需要幫助學(xué)生建立乘法分配律的不同結(jié)構(gòu)，逐漸建立起意義層面上的理解。教師不能只把目光聚焦在知識的獲得上，更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)方法的獲得。課堂中要讓學(xué)生經(jīng)歷“建構(gòu)等式——猜想規(guī)律——驗證規(guī)律——得出結(jié)論——再次猜想”的過程，以直觀、具體的形式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材，便于學(xué)生理解、建模。

一、在感知中形成表象

1.課件出示圖①菜地。

青菜地長9米，寬6米；蘿卜地長9米，寬2米。

（1）你能算出兩塊菜地的總面積嗎？

（2）交流算法，板書兩種不同的計算方法。

（6+2）×9=72（平方米） 9×6+9×2=72（平方米）

比較：這兩位同學(xué)算兩塊菜地的總面積有什么不同嗎？

生：一個是把這兩塊地拼成一個新的長方形再算它的面積一個是把兩塊地的面積分別算出后再相加。

師：那有沒有相同的地方？

生：得數(shù)相同，都表示兩塊菜地的總面積。

師：說明左邊這個算式等于右邊這個算式。

板書得到等式：（6+2）×9=6×9+2×9

2.課件出示圖②和圖③兩塊菜地。

青菜地，長8米，寬6米；蘿卜地，長6米，寬3米。

圖②

青菜地，長8米，寬5米；蘿卜地，長7米，寬6米。

（下轉(zhuǎn)第18頁）

（上接第17頁）

圖③

（1）求出他們各自菜地的總面積。

圖②的面積：（8+3）×6=66（平方米） 8×6+6×3=66（平方米）

師：都等于66，看來我們也可以用“=”連接。

板書得到等式：（8+3）×6=8×6+3×6。

（2）思考：為什么圖③的兩塊菜地不能合起來算呢？8×5+7×6

（因為拼不成一個長方形，沒有一條共同的邊）

（3）提問：圖①和圖②的菜地總面積可以合起來算的原因是什么？（有一條邊相等）

小結(jié)：有一條邊是共同的，就可以把兩塊地的面積合著算。

【評析】運算定律的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說是相對抽象的，將長方形的面積計算與乘法分配律的知識融合在一起，從圖形出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，以計算長方形面積為載體，建構(gòu)等式，使學(xué)生在探究的過程中進(jìn)一步對這樣的等式有深入的了解，明確探究的方向。在學(xué)生交流討論圖③不能列出等式原因的過程中，讓學(xué)生體會乘法分配律中必須有相同因數(shù)這一重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、在理解中掌握內(nèi)涵

1.剛才我們寫出了幾組相等的算式，他們有什么共同的特點？

（6+2）×9=6×9+2×9

（8+3）×6=8×6+3×6

提問：這兩種算式相等你認(rèn)為是偶然的還是必然的？你還能舉出這樣的例子嗎？寫一寫，并驗證一下左右兩邊是否相等。

2.這樣的例子舉得完嗎？有沒有符合這樣規(guī)律的算式但左右兩邊不相等？你有其他方法來說明這兩種算式必然相等嗎？

3.看來這樣的例子是寫不完的，那誰能寫出一個能包含所有這些例子的等式？

4.抽象規(guī)律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把他們與這個數(shù)分別相乘，再相加，這就是乘法分配律。

5.（板書：4×7+6×7）誰來結(jié)合這個算式說明下我們發(fā)現(xiàn)的這個乘法分配律是成立的。（課件出示下圖的3個素材）

4個7加上6個7合起來就是10個7，也就是（4+6）×7。

小結(jié)：看來，乘法分配律也可以用乘法的意義幾個幾來解釋，而且從右邊到左邊也是成立的，也就是a×c+b×c=（a+b）×c。

6.回顧舊知，深化學(xué)生對乘法分配律的認(rèn)識。

（1）回顧兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算（課件出示）。

（2）回顧長方形周長的計算（課件出示）。

【評析】在學(xué)生舉出大量等式的基礎(chǔ)上引導(dǎo)孩子進(jìn)行觀察猜想，并且從正反兩個方面對得出的猜想進(jìn)行驗證，再從乘法的意義解釋乘法分配律，掌握其內(nèi)涵。抽象出結(jié)論后，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述其規(guī)律。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生自主地經(jīng)歷了乘法分配律的探究過程，抽象、概括的能力得到了發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生回顧乘法和長方形周長的計算，經(jīng)歷演繹推理的思維過程，溝通了新舊知識之間的聯(lián)系，又使數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步的提升。

三、在練習(xí)中發(fā)展能力

1.運用規(guī)律填空。

（42+35）×2=42×□+35×□

27×12+43×12=（27+□）×□

15×26+15×14=□○（□○□）

2.初步拓展到兩個數(shù)的差與一個數(shù)相乘。

出示：（6-2）×9=□○□○□○□

師：這道算式，剛學(xué)的乘法分配律適用嗎？你有什么辦法來驗證？

得出：乘法對加法的分配律可以推廣到乘法對減法的分配律。

3.再次拓展到三個數(shù)或更多的數(shù)的和與一個數(shù)相乘。

猜想、驗證：如果把乘法分配律中“兩個數(shù)的和”換成“三個數(shù)的和”、“四個數(shù)的和”或更多個數(shù)的和，結(jié)果還會不會不變？

【評析】通過題組的比較和練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)數(shù)據(jù)特點，靈活運用乘法分配律，避免生搬硬套，培養(yǎng)思維靈活性。將乘法分配律由“兩個數(shù)的和”拓展到了“兩個數(shù)的差”，再提出“多個數(shù)的和與一個數(shù)相乘”是否適用于乘法分配律的猜想，這是一種很有價值的思考。從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)?shù)淖儞Q、聯(lián)想，同樣可以形成新的想法，進(jìn)而形成新的結(jié)論，在類比推理中形成新的結(jié)論。