反證法在幾何證明中的若干應用

趙昕陽

【摘要】本文簡要概述了反證法的定義及種類，歸納了應用反證法證明的一般步驟與常見的矛盾形式，從命題的結論涉及“基本命題與初始命題”“幾何量間的關系”“否定性”“唯一性”“至多、至少”五個方面出發，具體說明了宜用反證法證明的幾何命題，揭示了反證法在幾何證明中的重要性與應用的廣泛性.

【關鍵詞】反證法；幾何；證明；應用

反證法是一種間接證法，它不是直接證明命題的結論成立，而是證明命題結論的反面不能成立，從而斷定原命題的結論是不容否定的正確結論.先假設命題結論不成立，即肯定命題的題設而否定其結論，然后從結論反面出發通過正確的邏輯推理導出矛盾，徹底推翻原來的假設，從而證得命題的結論成立.這種證明方法稱為反證法.

一、反證法在幾何證明中的應用

（一）反證法證明的一般步驟

反證法的證題模式可以簡要地概括為“否定→推理→否定”.即從否定結論開始，經過正確無誤的邏輯推理導致矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”.反證法證明問題的一般步驟：（1）反設：否定結論，做出反設；（2）歸謬：進行推理，導出矛盾；（3）結論：否定反設，肯定結論.在應用反證法證題時，必須按“反設—歸謬—結論”的思路進行，這就是應用反證法的三個步驟，但在敘述上可以簡略每一步的名稱.

（二）反證法中的矛盾形式

應用反證法證明時，必須由結論的反面出發導出矛盾，所以如何導出矛盾，導出什么樣的矛盾就成了反證法的關鍵所在.了解反證法中常見的矛盾形式更利于我們運用反證法證題時導出矛盾，為歸謬提供了邏輯推理的方向.我們將反證法中常見的矛盾形式具體分為以下幾類：

（1）假設推出的結果與已知條件矛盾；

（2）假設推出的結果與已知的公理、定理、定義、法則及已經證明正確的命題矛盾；

（3）假設推出的結果與假設矛盾；

（4）假設推出的結果自相矛盾.

（三）適合應用反證法證明的幾何問題

反證法從肯定命題的題設而否定命題的結論開始，即否定的結論也作為已知條件使用，這就給證明增加了條件.當從正面出發難以證明，且“結論”較“結論反面”更復雜時，我們考慮用反證法.具體來說，究竟什么樣的幾何命題用反證法證明比較方便呢？可歸納如下幾個方面：

1.證明基本命題或初始命題

在幾何中，證明一些原始的定理或性質時，往往可以應用的已知定義、定理比較少，因此通常很難利用直接證法，這時常考慮使用反證法，從結論的反面開始推證，為證明增加條件.

2.證明幾何量之間的關系

幾何中有關判斷線線、線面、面面位置關系的問題上，我們通常可以使用定義法或反證法判斷，但有時候用定義法證明比較困難，這時運用反證法有其獨特的優勢，特別是證明兩直線是異面直線問題上，因此遇到此類問題時我們通常想到用反證法.

3.證明“否定性”命題

結論中出現“不能……”、“不是……”等形式的命題，我們稱為“否定性”命題.證明某個研究對象“不存在”或“不具有”某種性質，我們常用反證法證明，由于這類否定的論斷不是特別明確，沒有具體性質能揭示此對象，一般不易直接證明，而否定的反面是肯定，它較之否定判斷一般來說比較簡單.

4.證明“唯一性”命題

需要證明符合某種條件的點（或線或面）有且只有一個時，我們稱為唯一性命題.證明唯一性問題也常常用到反證法，命題的結論常以“唯一存在”或“只有一個”的形式出現.在證明時可以假設符合條件的對象不唯一，即設存在兩個符合條件對象，然后通過一系列邏輯推證，說明在某些條件下，這兩個對象是相同的，由此證得符合題設條件的對象是唯一的.

5.證明“至多”“至少”等限定形式命題

證明以“至多”“至少”形式出現的命題時，若直接從正面證明往往有多種情況需要討論，比較復雜，而其反面相對較簡單，因此遇到此類問題時我們首選反證法.當要直接證明“至少有一個元素具有某些性質”或者“至少有一個元素不具有某性質”比較困難時，先做出這個結論的否定論斷：“所有的元素不具有某性質”或者“所有的元素具有某性質”.并把這個否定論斷作為條件進行推證往往比較容易.

二、應用反證法應注意的問題

（一）反設要正確

應用反證法證明的首要前提就是要能正確否定結論，否則就會導致后面的推證前功盡棄.當命題結論的反面是多種情形，特別是結論反面比較隱晦時，“反設”往往容易出錯，所以必須找準關鍵詞，認真分析，全面考慮，避免出現錯漏.

（二）明確推理特點

應用反證法證題，整個推理過程必須正確無誤，步步有理有據，否則即使推出了矛盾，也不能做出否定結論是錯誤的判斷.推理過程中，要明確我們的目標是從否定的結論及題設出發導出矛盾，但什么時候出現矛盾，出現什么樣的矛盾，要由命題的本身所決定，一般我們總是在命題的相關領域里考慮.因此，我們在運用反證法時只需正確否定結論，進行正確的推理，一旦出現了矛盾，證明也就結束了.

（三）善于靈活運用

由于原命題與其逆否命題同真假，所以對于“若p則q”型的數學命題，一般都能用反證法證明，但并不是說我們就可以濫用反證法，所有這種類型的命題都使用反證法來證明.很多用直接證法就可以直接快捷證出來的命題，就不要一味使用反證法了，要注意反證法的局限性.同時，也要學會靈活運用反證法，有的數學命題須結合使用其他證法，有的數學命題須多次應用反證法，具體情形視題目要求而定.

雖然反證法不一定是中學幾何證明中的首選方法，但遇到一般方法難以解決的問題時，如果能恰當地使用反證法，就可以化難為易、化繁為簡、化不可能為可能.因此準確把握反證法的本質與邏輯依據，了解反證法中的矛盾形式，掌握反證法的一般步驟“反設—歸謬—結論”，我們就能靈活熟練地運用反證法解決各類適合應用反證法證明的幾何問題.

【參考文獻】

[1]黃志燕.反證法在數學證明中的應用[J].數學教育，2012（2）.

[2]呂艷珍.關于中學數學反證法的探討[J].數學論壇，2009（10）.