淺談抽象函數的解題方法

王秋鳳

【摘要】函數是高中數學的重要內容，抽象函數是相對于具體的函數而言，指沒有給出函數解析式或對應法則，只是給出函數所滿足的一些性質，抽象函數一般是指滿足這些性質的一類函數.求解抽象函數問題，要有扎實的知識基礎和較強的抽象思維和邏輯推理能力.隨著對數學考題的要求更多變，抽象函數問題在高考命題中呈現逐漸加強的趨勢.

【關鍵詞】高中數學；抽象函數；解題技巧

一、賦值法

賦值法是把已知函數所滿足的所有性質，即一般性條件，賦予特殊的值，推出函數所必須滿足的其他性質.

例1已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（3）=0，對任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（6）成立，則f（2007）=（）.

A.2006

B.2007

C.2008D.0

解析f（-3）=0，取x=-3代入f（x+6）=f（x）+f（6），

得f（6）=0，f（x+6）=f（x），周期為6，選D.

例2（2005年重慶高考）已知定義域為R的函數f（x）滿足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x.

（Ⅰ）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；

（Ⅱ）設有且僅有一個實數x0，使得f（x0）=x0，求函數f（x）的解析表達式.

解（Ⅰ）取x=2，又f（2）=3，得

f（f（2）-22+2）=f（2）-22+2，即f（1）=1.

又f（0）=a，故f（f（0）-02+0）=a-02+0，

即f（a）=a.

（Ⅱ）又滿足f（x0）=x0的實數x0唯一.

由f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x可知

對任意x∈R有f（x）-x2+x=x0.

在上式中令x=x0有f（x0）-x02+x0=x0.

又f（x0）=x0得x0-x02=0.

故x0=0或x0=1.

若x0=0，方程f（x）=x有兩個根，故x0≠0.

若x0=1，則有f（x）=x2-x+1.

易驗證該函數滿足題設.

“賦值法”是解抽象函數問題最常用的方法，解題的關鍵是靈活運用題設條件合理賦值，賦值要有明確的目標、依據和靈活的策略.

二、變換法

利用已知函數所滿足的一般性的關系式，通過變量代換，推出所要求的關系式.

例3下列命題正確的序號是.

① 若f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關于直線對稱；

② 若f（a+x）+f（a-x）=2c，則y=f（x）的圖像關于點（a，c）中心對稱；

③ 函數y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關于直線對稱；

④ 函數y=f（a+x）與y=-f（b-x）的圖像關于點中心對稱.

解析①②③④都正確.

證明①②③證明略.

④ 設函數y=f（a+x）圖像上任意一點M（m，n），關于點Ab-a2，0對稱的點為N（b-a-m，-n），則

n=f（a+m），-f（b-（b-a-m））=-f（a+m）=-n，

所以y=f（a+x）圖像上任意一點關于點A對稱的點都在y=-f（b-x）的圖像上.

同理，y=-f（b-x）圖像上任意一點關于點A對稱的點都在y=f（a+x）的圖像上.命題正確.

三、抽象函數的解析式問題

例4已知函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，求f（x）解析式.

分析抽象函數的解析式問題一般用賦值法求解.

解∵函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0，

得f（1）-f（0）=2，∴f（0）=f（1）-2=-2.

在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中再令y=0得

f（x）-f（0）=x（x+1）.

∴f（x）=f（0）+x（x+1）=x2+x-2.

∴f（x）=x2+x-2.

可以看出對不同類型的抽象函數問題，可以用不同的求解策略，有時根據所給條件，可利用具體函數模型來尋求解題思路，或檢驗解答是否正確，從而化抽象為具體，有利于問題的解決.

【參考文獻】

[1]張衛東.對抽象函數周期性的探究[J].中學數學研究，2012（15）.

[2]楊其武.函數三性的關系及簡單應用[J].中學數學研究，2012（10）.

[3]張真平.抽象函數定義域的形象化求法[J].教育教學論壇，2011（13）.