概率思想在高等數學計算中的應用研究

尹麗+高輝+高勝哲

【摘要】概率思想主要應用于醫學、人口學、保險及工業，在高等數學中也得到了一定的運用.相對來說，高等數學中的概率思想主要體現在計算中，簡化了計算的步驟及計算量，提高了高等數學的計算準確度.本文就概率思想在高等數學中的發展概況進行分析，簡述其在高等數學中的應用.

【關鍵詞】概率思想；高等數學；計算；應用

【課題項目】遼寧省教育科學“十二五”規劃2015年度立項課題（JG15DB054）；遼寧省教育廳課題（UPRP20140490）

高校的高等數學教學對大學生的發展有著重要影響，高等數學的學習效果可以直接影響學生的綜合計算力，但是由于計算過程較為煩瑣，學生的計算準確度較低，使得學生的學習興趣不強，效果不佳.為改變高等數學的教學現狀，將概率思想運用在計算之中是非常有必要的.

一、概率思想的概況

當前概率思想與經濟發展密切聯系，不同的領域中發揮著不同的作用，相應地解決著不同的問題.高等數學中的計算步驟比較復雜，若將概率思想運用在高等數學的計算過程中，就會簡化計算步驟及計算量，增強學生的高數學習興趣.

二、概率思想在高等數學計算中應用

（一）概率分布的獨特性可以將計算過程簡化

這種方法適用于那些小于1大于0的數字所組成的事件發生概率，例如計算∑nk=2Cknakbn-k（a>0，b>0）.

在解決這道題時，假設不均勻地拋射硬幣N次，則正面出現的概率為P=aa+b，用X表示拋射硬幣，則拋射N次后正面出現的概率就是P{X=k}=Cknpk（1-P）n-k，k=0，1，2，3，…，n.再根據概率的分布規律可知，1=∑nk=0p{X=k}=∑nk=0Cknaa+bkba+bn-k，所以這道題的答案就是∑nk=2Cknakbn-k=（a+b）n-bn-nabn-1.

（二）定積分的計算

概率思想運用最多的就是定值及定積分的計算，在定積分的計算過程中使用概率思想可以有效降低計算難度，提升計算結果的準確度.首先依據公式的樣式對公式進行變形，進而將被積函數作為隨機變量概率論的密度函數，利用密度函數的特性，將某一函數的積分作為分布的正態函數的概率密度函數，結合正態函數分布的特征以及概率密度函數的特性將積分計算簡單化.例如計算∫+∞-∞e（x-u）22a2dx.

設隨機變量X～N（u，σ2），-∞0，

則其概率密度函數為f（x）=12πσe（x-u）22σ2，x∈R.

概率密度函數的歸一性∫+∞-∞f（x）dx=1，則

∫+∞-∞12πσe（x-u）22σ2dx=1，∫+∞-∞e（x-u）22a2dx=2πσ.

（三）概率模型的創設

例如，求和12+1-1213+1-121-1314+…+1-121-13…1-1n1n+1.

將此題假設為概率題，在一個容器之中放入兩種顏色不一樣的小球，分別為白色和黑色，將手伸入容器兩次來取球，若兩次取得的球的顏色一致則算成功，若顏色不一致則算失敗，如若失敗則將再放入一個顏色的球，比如白色或者黑色.接著再進行實驗，取出小球顏色一致則成功，不一致則失敗，不斷重復這種試驗，然后計算概率.依據上述的試驗，分析其概率：

第一次試驗成功，則其概率為12.

若第一次失敗，第二次的試驗成功，則概率為1-12×13.

試驗不間斷，循環往復，則最后的概率就會是12+1-12×13+1-121-13×14+…+1-12 1-13…1-1n×1n+1，這里的概率就是例題中的和.假設抽取到兩次的白球就算成功，抽到黑球就算失敗，在試驗中白球抽到的概率就是12，13，14，…，1n，則黑球抽到的概率就是1-12，1-13，1-14，…，1-1n，因為在試驗中白球的成功率是1，黑球的成功率是0，所以12+1-1213+1-12 1-1314+…+1-12 1-13… 1-1n1n+1的和就是1.

（四）利用概率思想求某些特定值

在高等數學中，一些數字是無法求盡的，例如π.運用概率思想對π進行求解，具體過程如下：

在一個平面上畫平行線，平行線之間的距離為A（A>0），在這個平面拋針，針長為L（L

三、結語

將概率思想運用在高等數學的計算之中，不僅對計算本身能夠產生很大的作用，還對學生的學習發展具有積極的影響.幫助學生展開高效式的學習，提高教師的教學質量，降低了高等數學的學習難度，簡化了計算過程，能夠有效促進學生能力的提升，激發學生的數學思維和創新思維，保證教學效果.