基于 Nektar++ 譜/hp有限元法的定常對流擴散方程數值模擬

耿紅鵬++張建銘

摘要： 本文利用 Nektar++ 中的 ADRSolver 求解器求解了二維定常對流擴散方程，并進行了 L2 范數誤差和 L∞范數誤差分析，給出了結構網格下 h 收斂和 p 收斂性質的圖像。結果表明：該求解器適用于分析此類問題，數值模擬結果與解析解符合程度高，并且隨著階數p 的增大，兩種范數誤差均成指數級減小。

Abstract： In this paper， 2-D steady convection-diffusion equations is considered using ADRSolver in Nektar++， and the L2 and L∞ norm errors are analyzed， then both of the h-convergence and p-convergence characteristics of the method for this problem are studied， the results show that the ADRSolver in Nektar++ is suitable for this kind of equations， and we get a correct solution to both of the above equations， moreover， with the increase of order p， the two kinds of norm errors decrease exponentially.

關鍵詞： 對流擴散方程；數值模擬；Nektar++

Key words： convection-diffusion equation；numerical simulation；Nektar++

中圖分類號：O241.82 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）08-0218-03

0 引言

偏微分方程中的對流擴散方程（convection-diffusion equation）廣泛存在于計算流體力學（CFD）中，可用于描述多種復雜物理過程如流體介質中污染物濃度的擴散、溫度擴散等過程，在數值分析上占有重要地位，研究對流擴散方程的精確高效的數值求解方案長期以來是計算流體力學領域的一個重點，如文獻[1-2]利用差分格式求解了對流擴散方程，文獻[3]利用譜嵌入方法求解了對流擴散方程。

譜/hp有限單元法既有經典有限元法的幾何靈活性又具有譜方法的精度。這種方法可以應用于計算流體力學中，已經取得了很多成果，并且還在不斷發展中。Nektar++[4]是由英國帝國理工學院和美國猶他大學聯合開發的一款基于張量積的開源有限元分析架構，可支持跨平臺運行，最新版本的Nektar++ 4.3.5不但集成了多種求解器（如對流擴散方程求解器、心臟電生理求解器、線彈性求解器、脈沖波求解器、淺水求解器等）而且還可以支持構造新求解器，可拓展性良好。這些求解器利用了高階譜元法作為其數學思想，為相關的科學及工程計算提供了新的選擇和方法。Nektar++中的ADRSolver可用以求解對流擴散方程。將Nektar++應用于二維定常對流擴散方程數值模擬，對不同步長h和不同階數p下的網格的計算結果進行分析，得出了相應的結論，證明了Nektar++中的ADRSolver求解器對算例中的問題是有效的。

1 數值離散

考慮定常對流擴散方程

p 收斂下L2的范數誤差和L∞范數誤差見圖1和圖2；h 收斂下的L2范數誤差和L∞范數誤差見圖3和圖4。

4 結論

圖1-圖2顯示了 p 收斂的結果，隨著階數 p 的增大，L2范數誤差和L∞范數誤差成指數級減小；類似地，圖3-圖4顯示了 h 收斂的結果，在階數p保持不變時，隨著網格的加密（h 減小），L2范數誤差和L∞范數誤差對數曲線圖越來越陡，反映了在一定的范圍內，網格劃分越疏， p 收斂越慢；網格劃分越密， p 收斂越快，即通過加密網格，此類問題的求解精度可以得到非線性地提高。

參考文獻：

[1]張鐵，王寶艷.解對流占優反應擴散問題一致穩定的差分格式[J].高校應用數學學報，2010，25（2）：195-201.

[2]魏劍英.二維定常對流擴散方程的一種高精度緊致差分方法[J].重慶理工大學學報自然科學版，2012，26（2）：112-117.

[3]Elghaoui， M. and Pasquetti， R. A Spectral Embedding Method Applied to the Advection-Diffusion Equation[J].Journal of Computational Physics， 1996， 125（2）：464-476.

[4]Cantwell， C. D. and Moxey， D. and Comerford， A. and Bolis， A. and Rocco， G. and Mengaldo， G. and De Grazia， D. and Yakovlev， S. and Lombard， J. E. and Ekelschot， D. Nektar++： An open-source spectral/hp element framework[J].Computer Physics Communications， 2015， 192：205-219.