數學專業學生學習微分幾何的困因及教學策略

鐵勇

摘 要：微分幾何是數學專業一門重要的專業課程，它對于逐步提高幾何思維和空間想象能力和一定的計算證明能力起到了一定的促進作用，然而學生學習微分幾何存在學習困惑。通過詳細分析數學專業學生學習微分幾何的困因，提出了一定的改變現狀的教學策略。

關鍵詞：數學專業學生；微分幾何：困因；教學策略

1 引言

微分幾何是綜合性大學數學系各專業重要的專業課，也是應用性很強的一門數學課程。微分幾何課的目的一方面使學生鍛煉空間想象能力和抽象思維能力，以便為以后進一步學習、研究現代幾何學打好基礎，另一方面培養學生理論聯系實際和分析問題、解決問題的能力。然而學生學習微分幾何存在學習困惑。解決學生學習該課程的困惑有重要的現實意義。本文通過詳細分析數學專業學生學習微分幾何的困因，提出了一定的教學策略，為數學專業學生學習微分幾何課程提供一點學習參考，以及針對教學提供一些教學建議。

2 數學專業學生學習微分幾何的困因

2.1 對微分幾何學習存在認識的偏見

微分幾何是微積分原理滲透到空間幾何知識和理論形成的專業課程，鑒于其幾何的知識背景，課程內容會涉及很多不同的概念，這些概念的計算公式也會相應呈現。因此，當學生學習到一定的時候，會認為只要記住公式就能懂得解題的方式。往往會把中學時候的初等幾何的學習方法融入到微分幾何的學習中，片面地認為公式是貫穿整個知識的主要問題，從而不能擺脫以記憶公式為主的學習幾何的學習方式。另外，微分幾何知識中存在一些復雜的空間幾何問題，因為空間幾何更多的穿插著很多不規則的曲線和曲面，鑒于個人的空間想象能力的局限，就會產生學習困惑，以至于傾向于單純的知識和公式的記憶模式。

2.2 習題訓練缺乏主動性和積極性

微分幾何的內容中充斥著很多需要計算和解答的問題，這就需要學生動手進行認真的演算。然而，由于學生對學習存在認識的偏見，往往有些學生懶于動手演算，他們認為只要記住公式，計算一般不會有問題。他們忽略了重要的問題就是，有些沒有發現的問題往往存在于計算和推演的過程中。數學的學習在某種程度上告訴我們，發現問題有時候比解決問題更重要。因此，只有動手認真演算，才能發現一個計算問題可能會牽扯到哪些相關學科的知識，或是存在什么樣的難點和疑問。而這樣的學習方式在課堂教學和課后的作業中被淡化了。學生對習題訓練更多是缺乏主動性和積極性。

2.3 課堂教學中提問呈現的思維惰性

在課堂教學中，教師引導解決一個微分幾何問題。比如：給出一定的條件，求解動點的軌跡。學生往往不知道條件如何進行有效地整合。這就顯示出所學知識的模糊，以及思維的惰性。當遇到困惑時，短時間的思考不能形成有效的求解方式，此時學生就會凸顯出思維的惰性，即不愿意再過多地去思考條件與所求問題之間的關聯。對于一個問題的思考，往往不知道思考的出發點是什么，如何去找。對問題的困惑的認知程度就會逐步形成思考和學習的困惑，久而久之就會潛意識地形成思維的惰性，阻礙學生的思維積極性。

3 教學策略與方法

3.1 突出傳授數學思想和學習方法

突出傳授數學思想和數學方法。了解學生學習特點和困難，注重引導和啟發，讓學生盡早地更多地掌握數學的思想和方法。在課堂教學中盡可能把握微分幾何各種內容之間的內在聯系，揭示課程學習的主要問題。把數學中的各種數學思想方法融合到教學方式和教訓內容中，激發學生的空間想象能力和對所學知識的領悟能力。微分幾何突出的是應用微積分的原理去解決空間幾何問題的一種方式，因此，在教學中要不斷回顧微積分所學知識的一般原理，引導學生整合有效的資源，循序漸進地學習微分幾何的相關知識，提高個人的學習能力和思維能力。

3.2 加強有效的課堂教學互動

通過有效地互動的課堂教學，刺激學生的學習興趣。課堂上對于微分幾何知識和問題的有效探討，可以調動學生的學習積極性，比如：針對空間基本三棱形得到的密切平面、法平面和從切平面，在求解各自方程時候，不僅要講解平面的平面的構造，更要引導學生理解構造的方式，即如何構造，為什么要這樣構造。只有理解這些問題，然后進行方程的推導，得到同一平面的不同的求解方程，促進學生理解各類方程的推導原理，而不是單純記憶相應的公式。一方面，學生在互動中理解了課堂內容和求解問題的方法，另一方面調動了學生學習微分幾何的積極性，提高了學生的理解能力。

3.3 注重學生學習的引導和啟發

在教學中要始終抓住基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧，重視課堂互動并引導學生分析問題，注意培養學生的獨立思考能力。結合以前所學的數學分析、解析幾何、復變函數以及中學所學知識（如平面幾何、立體幾何、平面解析幾何），引導學生比較與區別，促使學生將抽象的微分幾何知識滲透到其它數學知識中，從而起到啟發學生深入思考的效果。微分幾何主要有曲線論和曲面論兩大內容，在教學中，要不斷引導學生注重在學習微分幾何知識的過程中，盡可能理解相關概念定義的來源及其構造。面對眾多的知識點和方程、定理和公式，只有理解相關原理，才能有效把握這些問題的實質，從而促進真正有效的記憶。

參考文獻

[1] 梅向明，黃敬之.微分幾何[M].高等教育出版社， 2011： 39-40.

[2] 陳鼎興.數學思維與方法——研究式教學[M].南京：東南大學出版社，2011：61-62.