實施概念教學(xué)五步走，突破平方根教學(xué)難點

張青

[摘 要] 數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容組成的知識體系，概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心. 正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 概念是數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本點，概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，概念課的教學(xué)是教師落實基礎(chǔ)的關(guān)鍵，是學(xué)生打好基礎(chǔ)的首要環(huán)節(jié). 概念課也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種主要課型，本文以概念教學(xué)的基本步驟淺談?wù)憬贪嫫吣昙壣稀?.1平方根”教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念教學(xué)；鞏固概念；形成過程；平方根

在本校的一次“3.1平方根三段兩反思”教研活動中，陳老師在筆者所在班級開設(shè)了一節(jié)公開課，學(xué)生課堂反應(yīng)靈敏，回答積極，課堂答題正確率高，教學(xué)內(nèi)容充實，竊喜學(xué)生對這節(jié)內(nèi)容掌握得不錯. 課堂作業(yè)批改時卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生有多種錯誤，心里甚是疑惑，于是作業(yè)訂正課和學(xué)生來了一次對話. （典型錯誤如圖1）

師：昨天的課你們沒有聽懂嗎？

生（齊）：聽懂了.

師：那昨天的作業(yè)怎么錯了那么多？

生（齊）：回家做作業(yè)時我們都忘了. （一臉無辜）

反思？搖 對于本節(jié)概念教學(xué)，造成學(xué)生作業(yè)錯誤率較高的原因主要是學(xué)生沒有掌握概念本質(zhì)，教師只是被學(xué)生的課堂反應(yīng)所迷惑了. 課改下我們的課堂形式多樣，內(nèi)容充實、題量大，很多老師求新求異，學(xué)生大多還是在模仿，被動地接受新知，根本沒有理解概念本質(zhì)，所以學(xué)生很快便遺忘了新知. 教師只有把概念講清楚，學(xué)生真正理解了，才能一帆風(fēng)順地解題.

“3.1平方根”概念教學(xué)課不僅抽象，而且是教學(xué)難點. 由于數(shù)學(xué)概念的抽象性，數(shù)學(xué)符號也高度抽象，不僅使得學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時普遍感到比較困難，而且教師在教學(xué)這些內(nèi)容時，也覺得不滿意. 這樣的抽象概念課“傳統(tǒng)五步法教學(xué)”還是值得借鑒. 概念課教學(xué)不應(yīng)該追求花哨偏難，概念教學(xué)是很多課程的基礎(chǔ)，因此，在教研組議課時對陳老師的課進(jìn)行了修改，本文以浙教版“3.1平方根”改進(jìn)課教學(xué)為例，談抽象類概念教學(xué)課的五步走.

情境激發(fā)，巧設(shè)問題，引入概念

初一學(xué)生的認(rèn)知以直觀為主，在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)一定的直觀情境，借助問題引導(dǎo)，讓學(xué)生形成過渡，從而認(rèn)識概念. 引入是概念課教學(xué)的第一環(huán)節(jié)，概念教學(xué)的引入方法有多種，一個好的問題情境對學(xué)生理解新的數(shù)學(xué)概念、形成新的數(shù)學(xué)原理、產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)公式，或蘊(yùn)含新的數(shù)學(xué)思想會有積極的促進(jìn)作用，更能激發(fā)由情境引起的數(shù)學(xué)思考. 例如“3.1平方根”概念教學(xué)引入：教師通過讓學(xué)生折紙活動順勢引入以下問題，激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望.

問題？搖 如圖2，有一個邊長為2的正方形.

（1）你能用它折一個面積為1的正方形嗎？說說你是怎么折的. （答案如圖3）

（2）你能用它折一個面積為2的正方形嗎？若能，說說你是怎么折的. （答案如圖4）

（3）你知道這兩個面積為1和2的正方形的邊長分別是多少嗎？

這樣的導(dǎo)入揭示了新知識產(chǎn)生的背景，同時又具有較強(qiáng)的認(rèn)知沖突. 面積為1的正方形的邊長，學(xué)生很容易根據(jù)平方的意義求出，但面積為2的正方形的邊長，學(xué)生就不容易求出了. 這樣的情境激發(fā)了學(xué)生的好奇心，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而引導(dǎo)學(xué)生解決這個問題的本質(zhì)，即求平方等于1和2的數(shù). 教師順勢引出平方根的概念，利用學(xué)生熟悉的情境和知識使這樣一個抽象概念更容易理解.

剖析概念，突出本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生

的抽象思維

數(shù)學(xué)概念是用精練的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的. 在教學(xué)中，抽象概括出概念后，還要注意深入剖析概念的定義，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念的含義，這一環(huán)節(jié)是這節(jié)課的重點. 像“平方根”這類數(shù)學(xué)名稱，直接講授，抽象難懂，學(xué)生不易接受，因此對平方根概念的分析要舍得花時間弄清概念的本質(zhì)以及概念的符號語言，并強(qiáng)調(diào)規(guī)范書寫. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生理解平方根和算術(shù)平方根的含義，并能熟練地用文字語言和數(shù)學(xué)語言兩種不同的方法表示出來，掌握平方根的符號表示，能正確區(qū)分平方根與算術(shù)平方根，知道兩種符號的含義，并熟練求一個數(shù)的平方根. 教師應(yīng)充分讓學(xué)生理解文字語言的意義，并準(zhǔn)確、嚴(yán)格地寫出符號語言. 如平方根概念的文字語言：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 為了讓學(xué)生充分理解文字語言的意義，應(yīng)多舉一些例子，如教師安排了如下兩個問題：

（1）請分別說出49，4，0的平方根；

（2）什么數(shù)的平方等于-4？

解 （1）因為（±7）2=49，所以 49的平方根是±7. 因為（±2）2=4，所以4的平方根是±2. 因為02=0，所以 0的平方根是0.

本環(huán)節(jié)，教師首先讓學(xué)生對平方根概念進(jìn)行正說與逆說（±7是49的平方根，49的平方根是±7），加深其對平方根概念的初步理解，并用具體的例子幫助學(xué)生形成抽象思維. 在學(xué)生掌握了平方根概念的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提出問題：我們所學(xué)過的數(shù)都有平方根嗎？如果有，有幾個？本環(huán)節(jié)安排學(xué)生以小組形式進(jìn)行討論研究，這里其實涉及分類討論的思想，教學(xué)中不僅要注重對知識的講授，還應(yīng)對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透. 學(xué)生很快就討論出了只有非負(fù)數(shù)才有平方根這一結(jié)論. 接著，筆者讓學(xué)生觀察并總結(jié)平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有正、負(fù)兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根. 平方根的概念也是一個描述性的概念，具有抽象性的特點. 在教學(xué)過程中，我們一定要揭示概念的發(fā)生過程，逐步地理解它、掌握它， 抓住概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生經(jīng)歷從量變到質(zhì)變的過程，從而突破抽象，引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的互逆運算，使學(xué)生意識到本章的學(xué)習(xí)是前面所學(xué)知識的一個再發(fā)展. 開平方和平方運算的關(guān)系：求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方，開平方是平方運算的逆運算. 接著，教師提出問題：平方根概念的符號怎么表示？

學(xué)生對平方根概念的理解經(jīng)歷了由文字語言到符號語言的轉(zhuǎn)化，由直觀到抽象的轉(zhuǎn)化，然后在上面敘述的基礎(chǔ)上提出平方根概念的符號表示方法后，再次利用所舉的上列等式，提出問題：請你用符號語言表示等式右邊各數(shù)的平方根，并計算出結(jié)果. 通過學(xué)生正、反兩面多次的敘述，達(dá)到了由量變到質(zhì)變的過程，幫助學(xué)生建立了符號感.

學(xué)用結(jié)合，鞏固新知，理解概念

本質(zhì)

對于任何一個概念，新知形成以后都要加以鞏固，鞏固應(yīng)該分兩塊，一是精選例題，然后分析、理解題意，明確解題方向，再師生互動解題，并規(guī)范步驟，最后總結(jié)反思；二要跟蹤練習(xí)，及時鞏固. 所選例題要具有典型性和代表性，課本的例題都是精挑細(xì)選的，教師要認(rèn)真分析課本上的例題，體會編者意圖，發(fā)揮好例題的功能，也可以根據(jù)學(xué)情適當(dāng)增減. 分析例題時，要明確各例題之間存在著某種邏輯聯(lián)系，只有這樣，才能構(gòu)成一個整體，完成概念的應(yīng)用與鞏固. 我們既要理解例題的內(nèi)涵，又要把握幾個例題的整體關(guān)系. 本節(jié)例題教學(xué)如下.

這里只選第（2）小題規(guī)范書寫，教師在課堂上每一小題都要求規(guī)范書寫，也可示范一題然后學(xué)生說、教師寫，這個例題既涉及整數(shù)，又有分?jǐn)?shù)和小數(shù)，加深了學(xué)生對平方數(shù)的熟悉度，既有文字語言，又有符號語言，讓學(xué)生更進(jìn)一步理解了平方根的意義. 教師講完例題后還補(bǔ)充了一個問題：11的平方根是多少？讓學(xué)生明確了不是平方數(shù)的平方根的表示形式，進(jìn)一步理解平方根的符號意義. 例題解完還應(yīng)回過頭來梳理一下解題過程，把解題格式程序化，便于操作. 師生完成例題后，配置了模仿性的練習(xí)，如下：

練習(xí)題讓學(xué)生在練習(xí)本上規(guī)范書寫，再投影展示寫得比較規(guī)范的同學(xué)的作業(yè)，以及其他出現(xiàn)的問題，教師在巡視檢查中發(fā)現(xiàn)了一些典型錯誤，此時應(yīng)立即找出原因并予以糾正，并進(jìn)行總結(jié)與反思. 課堂上，有時錯誤資源可以很好地加以利用. 在概念教學(xué)中，決不能單純地進(jìn)行抽象的概念挖掘，必須注重應(yīng)用，體現(xiàn)學(xué)以致用的教學(xué)原則，通過應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)一步理解概念、深化概念、鞏固概念，掌握運用概念解題的方法. 課堂練習(xí)不僅是學(xué)生練習(xí)、鞏固的必要過程，而且是教師檢測學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容掌握程度的一個重要手段，是收集學(xué)情信息，及時反饋的一條重要途徑. 待學(xué)生熟悉平方根的概念和意義之后，教師便可以水到渠成地直接引出算術(shù)平方根的概念和意義了.

概念：正數(shù)的正的平方根稱為算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根是0.

熟練平方根和算術(shù)平方根的概念后，教師需進(jìn)一步讓學(xué)生理解概念的本質(zhì)意義，可設(shè)置如下例題（并要求學(xué)生會讀）.

綜合運用，拓展提升

概念教學(xué)中要通過一定的練習(xí)來掌握、鞏固概念. 練習(xí)也是學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和技能，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力的重要手段. 練習(xí)要明確，具有針對性，突出重點，幫助學(xué)生理解已學(xué)的概念，發(fā)展學(xué)生的思維. 例如，為了幫助學(xué)生鞏固平方根概念和形成基本技能，在每一個例題后我們都設(shè)置了針對性練習(xí)；為了幫助學(xué)生分清容易混淆的概念，可以設(shè)置對比練習(xí)， 數(shù)學(xué)的很多概念，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，學(xué)生容易混淆，教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，區(qū)分兩種概念的異同. 針對第一節(jié)課作業(yè)本上出現(xiàn)的錯誤——平方根和算術(shù)平方根的混亂，筆者在本節(jié)課設(shè)置了表1，以區(qū)分算術(shù)平方根和平方根之間的關(guān)系. 教師先讓學(xué)生填表，師巡視，再找有典型錯誤的同學(xué)進(jìn)行板演.

為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，實現(xiàn)由技能到能力的轉(zhuǎn)化，在學(xué)生已基本掌握平方根概念和初步形成一定的技能之后，筆者設(shè)置了如下一組綜合練習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步深化平方根的概念，提高其解題的靈活性.

1. 判斷正誤，并把錯的改正.

（1）-9的平方根是-3.？搖（ ）

（2）49的平方根是7.？搖（ ）

（3）4的平方根是±2.？搖（ ）

（4）7是49的平方根.？搖（ ）

2. 填空.

（1）若x2=16，則x=______.

（2）已知2a+3的平方根是±3，則a=______.

3. （1）你知道的平方根是多少嗎？

（2）已知某個數(shù)的平方根是2a+3和3-5a，求這個數(shù).

1題可以利用反例對平方根的概念進(jìn)行鞏固，讓學(xué)生在辨析的過程中鞏固概念、掌握概念. 這三道題可以讓學(xué)生先獨立思考，探求解題方法，讓學(xué)生體驗一下方法形成的過程，經(jīng)歷探求的途徑. 在解題方法與途徑的探究過程中，教師要給予時間和空間，在這個時間和空間里，教師只能是啟發(fā)，引導(dǎo)他們?nèi)嵺`，通過師生互動、思想碰撞，來達(dá)到交流和溝通. 當(dāng)學(xué)生深刻理解了平方根的意義后，本組習(xí)題學(xué)生就不難找到解題途徑了. 接著，可讓學(xué)生先嘗試解決.

課堂小結(jié)，深化提高

課堂小結(jié)對一節(jié)課起著畫龍點睛的作用，應(yīng)該從知識體系和思想方法上都給予總結(jié)，可以采取開放式，讓學(xué)生自己談感受，教師引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)，進(jìn)行有效總結(jié). 在平方根這節(jié)課中，教師可從以下幾個方面進(jìn)行課堂小結(jié).

1. 平方根：±（a≥0）？搖和算術(shù)平方根：（a≥0）的符號語言以及意義.

2. 平方根的性質(zhì)： 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

3. 思想方法：分類討論思想.

最后，教師拋出一個問題：你現(xiàn)在知道面積為2的正方形的邊長了吧？想一想：這個邊長介于哪兩個相鄰整數(shù)之間？這個問題既解決了課前的情景創(chuàng)設(shè)，又引發(fā)學(xué)生積極思考，使學(xué)生意識到此問題的實質(zhì)是求1和2的平方根，應(yīng)用所學(xué)知識得以解決，起到了前后呼應(yīng)的作用，而且為下節(jié)實數(shù)的講解做了鋪墊，能讓學(xué)生體會到知識之間的連續(xù)性.

總之，概念課的教學(xué)應(yīng)精心設(shè)計，努力做到：生動恰當(dāng)?shù)匾敫拍睿粶?zhǔn)確細(xì)致地講清概念；在靈活運用中鞏固概念；在綜合運用中深化概念. 只有這樣，才能提高概念課的教學(xué)效率. 特別是對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，教師要用基礎(chǔ)性的問題來引導(dǎo)他們應(yīng)用，在分析和解決問題中要鼓勵他們描述概念，解決問題后還要進(jìn)行總結(jié). 教師在教學(xué)過程中也不應(yīng)只注重對知識的講授，還應(yīng)該注意在教學(xué)過程中對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透.