探討高中數學中的立體幾何解題技巧

左芳萌

摘 要：立體幾何是高中數學中的重要內容，也是學習的難點，而且在高考中立體幾何屬于必考點，通常在一個題目中會包含多個立體幾何的考查點，掌握立體幾何解題技巧對于提高解題效率及保證解題的正確性具有重要意義。通過探討高中數學中立體幾何的解題技巧，主要從高中數學立體幾何難點、高中數學中立體幾何解題技巧等角度進行分析。

關鍵詞：高中數學；立體幾何；解題技巧；探究分析

平面幾何是立體幾何學習的基礎，而在高中立體幾何的學習中，通常會涉及空間多個直線之間的關系、空間夾角的計算以及空間距離計算等。在解題過程中，由于學生缺乏空間立體意識及基本的解題技巧，因而大部分學生普遍感覺空間立體幾何學習的難度較大。筆者結合個人學習感受，就高中數學中的立體幾何解題技巧分析如下。

在高中數學立體幾何解題過程中，輔助線是一項必須掌握的基本技能。通過輔助線能將原有的立體圖形進行特殊化處理，從而順利完成立體幾何數學問題的講解。

比如：在一二面角α-l-β中（圖1），A、B∈α，C、D∈l，四邊形ABCD是矩形，P∈β，PA⊥α，PA=AD，M是AB的中點，N是PC的中點。證明：MN是異面直線AB和PC的公垂線。

通過分析，想要直接證明MN是異面直線AB、PC的公垂線，有一定的難度。在題目中，告知我們N是PC的中點，根據這一條件，我們可以聯想到在幾何解題中有中點可以配中點，這樣可以形成中位線。根據這一思路可通過作PD的中點進行證明，具體的證明過程如下：

證明：在PD上作一點Q，令PQ=DQ，連接QN、QA，

∵Q為PD中點，N為PC中點，

∴QN是△PDC的中位線，即QN=DC。

又∵四邊形ABCD是矩形，且M是AB中點，

∴AM∥DC，且AM=DC。

此時可知QN∥AM，且QN=AM，

即四邊形AMNQ是平行四邊形，

∴AQ∥MN。

根據題目中的PA⊥α，AB⊥AD，PA、PD？奐面PAD，可知AB⊥

面PAD，對應的有CD⊥面PCD。此時可知AQ⊥面β，根據線面垂直定理，則有AQ⊥PC，∴MN⊥PC。

∴MN是異面直線AB和PC的公垂線。

綜合以上，可知輔助線是高中數學立體幾何解題中需要予以重視的。當然，作輔助線也不是隨意的，必須要對教材中的基本公理、性質等熟練掌握，對證明題目中的求證問題需要快速地回憶學過的判定定理，結合證明題最后的證明結論，及時聯想這一結論成立對應的性質。此外，結合題目中給出的已知條件，需要有一個證明方向，這樣才能從不同的角度完成高中幾何解題。比如，異面直線的垂直通常需要通過面面垂直的證明進一步達到證明線面垂直、線線垂直的目的。同樣，在求解二面角的過程中，對于立體幾何圖形中沒有二面角的情況，則需要學生積極地通過輔助線找到垂線，進而得到所需要的二面角。因而，輔助線在高中幾何解題中發揮著重要的作用。

高中數學中立體幾何屬于學生學習中的重、難點，同時也是高考的難點。在具體解題過程中，學生需要掌握最基本的公理、性質，同時結合題目已知條件及結論綜合分析后，再通過適當的輔助線簡化問題，從而求解。

參考文獻：

[1]江士彥.芻議高中數學中的立體幾何解題技巧[J].讀與寫（教育教學刊），2015（11）.

[2]張美玲.高中數學解題方法及技巧探究[J].學周刊，2017（2）.

編輯 白文娟