小學數學教學中如何讓學生理解平均數的統計意義

葛晶

摘 要：傳統的教學偏向于平均數的算術意義，忽視平均數的統計學意義。通過選取梁紹君教授平均數理解“四水平”中的前三個水平，即以平均數的“本義性理解水平”“特異性理解水平”“加權性理解水平”為維度，論述了在小學數學教學中如何讓學生理解平均數的統計意義。

關鍵詞：小學數學；平均數；統計意義

平均數是加權平均數、算術平均數、幾何平均數和調和平均數的總稱，由于小學生認知水平的限制，這里指算術平均數。梁紹君教授把對算術平均數概念的理解分為兩個層次，即數據處理的算術層次和隨機變量的統計學層次。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《新課標》）對平均數的要求（第二學段）：“體會平均數的作用，能計算平均數，能用自己的語言解釋其實際意義。”《新課標》對平均數的算術意義和統計意義的理解提出了明確要求。分析平均數的教學現狀，發現學生對平均數的算術意義很容易理解，但對其統計意義的理解比較困難。

一、平均數教學現狀分析

平均數是統計學中非常重要的概念，不僅在小學數學中占有重要的地位，在實際生活中也有廣泛的應用。蔡金法比較了中美兩國六年級學生對平均數的理解，研究結果表明學生并非缺乏算法的程序性知識，而是缺乏對算法的概念性理解。針對這一現象，筆者認為原因主要在于：第一，教學中忽視平均數統計學層次意義，偏向于算術層次意義。對平均數的考查主要是與應用題型結合的形式，使教師重視學生對平均數與總量、份數之間數量關系的把握，即平均數=總量÷份數，導致學生對平均數的理解僅僅停留在除法式子的運算層面上，統計意義的建構比較薄弱。第二，平均數與平均分概念上的混淆，誤把平均數等同于平均分，不理解兩者之間的本質差別。第三，學生認知發展水平的限制，四年級的學生處于具體運算階段，尚不能通過一組離散數據感悟其統計意義層面的隨機性。

二、如何讓學生建構平均數的統計意義

傳統的平均數教學局限于數的運算，統計學意義不明顯，通過各種平均數的變式練習，學生計算平均數的操作技能程序化，統計學層次意義建構空白化。梁紹君依據數學思維的邏輯性特點，由易到難對平均數的概念建構提出了四個維度：本義性理解水平、特異性理解水平、加權性理解水平、隨機變量分布理解水平。筆者在此借用梁紹君教授的平均數理解維度四水平，提出教學中加強平均數統計意義建構的策略。但是考慮到四年級學生的認知特點去掉隨機變量分布理解水平，重點聚焦在本義性理解水平。

（一）本義性理解水平

本義性理解水平指“平均數能較好地反映一組數據的總體情況”。Mokros和Russell調查顯示，學生對平均數有五種不同的思維模式：平均數看成一個眾數，平均數被看成一個算術值；平均數被看成一個有意義的數；平均數被看成中點值；平均數被看成一個平衡值。這表明學生常常混淆平均數的意義，學生最易偏向于仍把平均數當作出現次數較多的數或是中間的數，而對平均數具體是什么尚不能建構清晰的概念，對其概念的理解非常困難。筆者針對平均數本義性理解水平的教學，提出了三點有效的建議。

1.通過樣本感悟數據的隨機性

算術意義上的平均數屬于描述性統計，統計意義上的平均數屬于推斷統計，兩者的差異在于是否考慮了數據的隨機性。蘇教版四年級上冊平均數的教學例題創設的情境是男女生套圈比賽，比較男生套圈的水平高還是女生的套圈水平高。教學中不能僅僅停留在男生和女生每人套中的個數層面上，應重視學生對數據隨機性的體會。教師應當讓學生感悟到雖然每人套15個圈，但套中的個數是不確定的，雖然套中的個數是不確定的，但男生和女生套圈的水平相對來說在各自平均數附近上下穩定波動。這就是對樣本數據隨機性的感悟，使學生對平均數統計意義有了初步的感知。如果教學中僅僅引導學生對套中個數的關注，不能使學生體會這些數據間的隨機性，就失去了統計學意義。

2.通過樣本數據經歷平均數的生成過程

數學模型思想要求學生體會數學與客觀世界在數量關系及空間形式上的本質聯系。平均數具有抽象的特征，大多數學生只會算法上的運算，對平均數是如何生成的，它的實際價值是什么比較模糊，這不利于學生模型思想和應用意識的培養。在男生和女生人數不等的情況下，教師通過提問“男生套的準一些還是女生套的準一些”，使學生體會比最大值（男生和女生中各自套的最多的）、比總和（男生和女生各自套圈的總數）都是不合理的，教師要讓學生明確說出“最大值”和“總和”都不能反映男生和女生套圈成績的總體水平。這樣學生會清晰地感知到選取一個合適的數值來表征一組數據總體水平的必要性，同時學生也經歷了平均數的生成過程，這是對統計意義層面上平均數的感悟。

3.明確平均數與平均分的區別

學生普遍存在平均數與平均分概念上的混淆，誤把平均數等同于平均分。雖然平均數與平均分在運算結果上存在重合的情況，實際兩者存在很大差異。平均分是把總數分成幾份，每份的數量一樣多，而平均數是虛擬值，平均數是幾不代表每份就是幾，可能少一些也可能多一些。例如，通過追問學生“平均每組4.5人是什么意思？人是整數怎么會出現小數？”當學生陷入認知沖突，使學生把握平均數是虛擬值這一特征，這樣學生對平均數與平均分之間的區別體會得更深刻，對平均數統計意義的理解更加深入。

（二）特異性理解水平

特異性理解水平指平均數在受極端值影響的情況下不能反映一組數據的總體水平，這是平均數七大性質之一。現階段平均數教學中教師已經關注到學生對平均數特異性質的理解，但是存在步子邁得太小、一筆帶過的問題。教師要讓學生經歷平均數會隨著數據的變化而變化這樣一個認知過程，即使是一組數據中的僅僅一個數值發生變化，平均數就會有相應的變化。平均數特異性是數據變化時的極端特殊情況，教師通過設計一系列數據的極端變化，使學生明確當離散數據中出現極端值時，用平均數是不能合理反映一組數據的總體情況，這時需尋找另一種合適的數值來反映一組數據的總體水平。

（三）加權性理解水平

加權性理解水平是對平均數概念的拓展延伸，在小學數學中通常一組數據中各個數據的地位是相等的，然而在實際生活中，為了使統計更具準確性、可信性，樣本數據的重要性往往不是等值的，這就需要賦予數據相應的權數。例如，通過創設籃球比賽的情境，有3分球，有2分球，計算每場的平均得分時，平均得分=（3分球的個數×3+2分球的個數×2）÷球的總個數，這里的“3分”和“2分”在統計學上就是權數。籃球比賽對小學生并不陌生，學生是能夠感知計算平均得分時，3分球和2分球分開計算的必要性，這也是對平均數加權性理解水平的感悟。但是學生對平均數加權的特征的深刻理解有一定的難度，只是淺層次的感知，對平均數加權特征的理解還需后續的深入學習。

筆者通過分析平均數的教學現狀，針對現階段小學中平均數統計意義的教學比較薄弱這一現象，以梁紹君教授對平均數理解水平的劃分為視角，論述了如何在教學中使學生更好地理解平均數的統計意義，試圖改變長期以來平均數教學停留在算術層面，統計意味不強的現狀，使平均數教學真正回歸統計領域。

參考文獻：

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