小學數(shù)學教學中如何讓學生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義

葛晶

摘 要：傳統(tǒng)的教學偏向于平均數(shù)的算術意義，忽視平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。通過選取梁紹君教授平均數(shù)理解“四水平”中的前三個水平，即以平均數(shù)的“本義性理解水平”“特異性理解水平”“加權性理解水平”為維度，論述了在小學數(shù)學教學中如何讓學生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義。

關鍵詞：小學數(shù)學；平均數(shù)；統(tǒng)計意義

平均數(shù)是加權平均數(shù)、算術平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的總稱，由于小學生認知水平的限制，這里指算術平均數(shù)。梁紹君教授把對算術平均數(shù)概念的理解分為兩個層次，即數(shù)據(jù)處理的算術層次和隨機變量的統(tǒng)計學層次。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《新課標》）對平均數(shù)的要求（第二學段）：“體會平均數(shù)的作用，能計算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實際意義。”《新課標》對平均數(shù)的算術意義和統(tǒng)計意義的理解提出了明確要求。分析平均數(shù)的教學現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)學生對平均數(shù)的算術意義很容易理解，但對其統(tǒng)計意義的理解比較困難。

一、平均數(shù)教學現(xiàn)狀分析

平均數(shù)是統(tǒng)計學中非常重要的概念，不僅在小學數(shù)學中占有重要的地位，在實際生活中也有廣泛的應用。蔡金法比較了中美兩國六年級學生對平均數(shù)的理解，研究結(jié)果表明學生并非缺乏算法的程序性知識，而是缺乏對算法的概念性理解。針對這一現(xiàn)象，筆者認為原因主要在于：第一，教學中忽視平均數(shù)統(tǒng)計學層次意義，偏向于算術層次意義。對平均數(shù)的考查主要是與應用題型結(jié)合的形式，使教師重視學生對平均數(shù)與總量、份數(shù)之間數(shù)量關系的把握，即平均數(shù)=總量÷份數(shù)，導致學生對平均數(shù)的理解僅僅停留在除法式子的運算層面上，統(tǒng)計意義的建構比較薄弱。第二，平均數(shù)與平均分概念上的混淆，誤把平均數(shù)等同于平均分，不理解兩者之間的本質(zhì)差別。第三，學生認知發(fā)展水平的限制，四年級的學生處于具體運算階段，尚不能通過一組離散數(shù)據(jù)感悟其統(tǒng)計意義層面的隨機性。

二、如何讓學生建構平均數(shù)的統(tǒng)計意義

傳統(tǒng)的平均數(shù)教學局限于數(shù)的運算，統(tǒng)計學意義不明顯，通過各種平均數(shù)的變式練習，學生計算平均數(shù)的操作技能程序化，統(tǒng)計學層次意義建構空白化。梁紹君依據(jù)數(shù)學思維的邏輯性特點，由易到難對平均數(shù)的概念建構提出了四個維度：本義性理解水平、特異性理解水平、加權性理解水平、隨機變量分布理解水平。筆者在此借用梁紹君教授的平均數(shù)理解維度四水平，提出教學中加強平均數(shù)統(tǒng)計意義建構的策略。但是考慮到四年級學生的認知特點去掉隨機變量分布理解水平，重點聚焦在本義性理解水平。

（一）本義性理解水平

本義性理解水平指“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”。Mokros和Russell調(diào)查顯示，學生對平均數(shù)有五種不同的思維模式：平均數(shù)看成一個眾數(shù)，平均數(shù)被看成一個算術值；平均數(shù)被看成一個有意義的數(shù)；平均數(shù)被看成中點值；平均數(shù)被看成一個平衡值。這表明學生常常混淆平均數(shù)的意義，學生最易偏向于仍把平均數(shù)當作出現(xiàn)次數(shù)較多的數(shù)或是中間的數(shù)，而對平均數(shù)具體是什么尚不能建構清晰的概念，對其概念的理解非常困難。筆者針對平均數(shù)本義性理解水平的教學，提出了三點有效的建議。

1.通過樣本感悟數(shù)據(jù)的隨機性

算術意義上的平均數(shù)屬于描述性統(tǒng)計，統(tǒng)計意義上的平均數(shù)屬于推斷統(tǒng)計，兩者的差異在于是否考慮了數(shù)據(jù)的隨機性。蘇教版四年級上冊平均數(shù)的教學例題創(chuàng)設的情境是男女生套圈比賽，比較男生套圈的水平高還是女生的套圈水平高。教學中不能僅僅停留在男生和女生每人套中的個數(shù)層面上，應重視學生對數(shù)據(jù)隨機性的體會。教師應當讓學生感悟到雖然每人套15個圈，但套中的個數(shù)是不確定的，雖然套中的個數(shù)是不確定的，但男生和女生套圈的水平相對來說在各自平均數(shù)附近上下穩(wěn)定波動。這就是對樣本數(shù)據(jù)隨機性的感悟，使學生對平均數(shù)統(tǒng)計意義有了初步的感知。如果教學中僅僅引導學生對套中個數(shù)的關注，不能使學生體會這些數(shù)據(jù)間的隨機性，就失去了統(tǒng)計學意義。

2.通過樣本數(shù)據(jù)經(jīng)歷平均數(shù)的生成過程

數(shù)學模型思想要求學生體會數(shù)學與客觀世界在數(shù)量關系及空間形式上的本質(zhì)聯(lián)系。平均數(shù)具有抽象的特征，大多數(shù)學生只會算法上的運算，對平均數(shù)是如何生成的，它的實際價值是什么比較模糊，這不利于學生模型思想和應用意識的培養(yǎng)。在男生和女生人數(shù)不等的情況下，教師通過提問“男生套的準一些還是女生套的準一些”，使學生體會比最大值（男生和女生中各自套的最多的）、比總和（男生和女生各自套圈的總數(shù)）都是不合理的，教師要讓學生明確說出“最大值”和“總和”都不能反映男生和女生套圈成績的總體水平。這樣學生會清晰地感知到選取一個合適的數(shù)值來表征一組數(shù)據(jù)總體水平的必要性，同時學生也經(jīng)歷了平均數(shù)的生成過程，這是對統(tǒng)計意義層面上平均數(shù)的感悟。

3.明確平均數(shù)與平均分的區(qū)別

學生普遍存在平均數(shù)與平均分概念上的混淆，誤把平均數(shù)等同于平均分。雖然平均數(shù)與平均分在運算結(jié)果上存在重合的情況，實際兩者存在很大差異。平均分是把總數(shù)分成幾份，每份的數(shù)量一樣多，而平均數(shù)是虛擬值，平均數(shù)是幾不代表每份就是幾，可能少一些也可能多一些。例如，通過追問學生“平均每組4.5人是什么意思？人是整數(shù)怎么會出現(xiàn)小數(shù)？”當學生陷入認知沖突，使學生把握平均數(shù)是虛擬值這一特征，這樣學生對平均數(shù)與平均分之間的區(qū)別體會得更深刻，對平均數(shù)統(tǒng)計意義的理解更加深入。

（二）特異性理解水平

特異性理解水平指平均數(shù)在受極端值影響的情況下不能反映一組數(shù)據(jù)的總體水平，這是平均數(shù)七大性質(zhì)之一。現(xiàn)階段平均數(shù)教學中教師已經(jīng)關注到學生對平均數(shù)特異性質(zhì)的理解，但是存在步子邁得太小、一筆帶過的問題。教師要讓學生經(jīng)歷平均數(shù)會隨著數(shù)據(jù)的變化而變化這樣一個認知過程，即使是一組數(shù)據(jù)中的僅僅一個數(shù)值發(fā)生變化，平均數(shù)就會有相應的變化。平均數(shù)特異性是數(shù)據(jù)變化時的極端特殊情況，教師通過設計一系列數(shù)據(jù)的極端變化，使學生明確當離散數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端值時，用平均數(shù)是不能合理反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，這時需尋找另一種合適的數(shù)值來反映一組數(shù)據(jù)的總體水平。

（三）加權性理解水平

加權性理解水平是對平均數(shù)概念的拓展延伸，在小學數(shù)學中通常一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的地位是相等的，然而在實際生活中，為了使統(tǒng)計更具準確性、可信性，樣本數(shù)據(jù)的重要性往往不是等值的，這就需要賦予數(shù)據(jù)相應的權數(shù)。例如，通過創(chuàng)設籃球比賽的情境，有3分球，有2分球，計算每場的平均得分時，平均得分=（3分球的個數(shù)×3+2分球的個數(shù)×2）÷球的總個數(shù)，這里的“3分”和“2分”在統(tǒng)計學上就是權數(shù)。籃球比賽對小學生并不陌生，學生是能夠感知計算平均得分時，3分球和2分球分開計算的必要性，這也是對平均數(shù)加權性理解水平的感悟。但是學生對平均數(shù)加權的特征的深刻理解有一定的難度，只是淺層次的感知，對平均數(shù)加權特征的理解還需后續(xù)的深入學習。

筆者通過分析平均數(shù)的教學現(xiàn)狀，針對現(xiàn)階段小學中平均數(shù)統(tǒng)計意義的教學比較薄弱這一現(xiàn)象，以梁紹君教授對平均數(shù)理解水平的劃分為視角，論述了如何在教學中使學生更好地理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義，試圖改變長期以來平均數(shù)教學停留在算術層面，統(tǒng)計意味不強的現(xiàn)狀，使平均數(shù)教學真正回歸統(tǒng)計領域。

參考文獻：

[1]梁紹君.“算術平均數(shù)”概念的四個理解水平及測試結(jié)果[J].數(shù)學教育學報，2006，15（3）：35.

[2]吳俊.小學四年級學生對平均數(shù)概念理解的發(fā)展過程[J].數(shù)學教育學報，2011，20（3）：39.

[3]梁紹君.“算術平均數(shù)”概念的四個理解水平及測試結(jié)果[J].數(shù)學教育學報，2006，15（3）：35.

[4]干蕓.初中低年級學生關于平均數(shù)算法意義和統(tǒng)計意義理解的調(diào)查[D].華東師范大學，2014.

[5]史寧中.基本概念與運算法則[M].高等教育出版社，2013：230-233.