高中數學“錯題”的教育功能研究

徐周鈺

【摘 要】隨著教學制度改革，教學內容主要從以前的課本知識逐漸轉變為研究性學習。尤其是高中數學教學對于學生的研究性要求很高，高中數學常會出現資料“錯題”，學生經過學習找出這些錯題，便可從中考驗自己的數學知識掌握程度，體現出自己的研究精神。“錯題”對于老師和學生都是一種考驗，如何在學習過程中辨別這些“錯題”，針對這些錯題應該從中總結出怎樣的經驗將成為學生和教師學習的重點。文章針對高中數學“錯題”的相關情況進行研究，為促進學生的學習、研究提供一些幫助。

【關鍵詞】錯題；高中數學；教育功能

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）36-0049-02

為了適應當前教育改革的要求，教師在教學過程中不得不轉變角色，從以前的以“講”為主教學逐漸變為以學生“學”為主體教學，學生在學習過程中應投入更多研究，主要實現掌握學習方法，然后自己從事學習研究。由于教學模式的轉變，學生在學習過程中發揮的作用越來越大，高中數學學習過程中經常會遇到一些資料上出現“錯題”的情況，如何識別這些錯題，并且從中學習數學知識將是檢驗學生學習水平的最好工具。因此，學生只有學習到一定程度，才能夠發現高中數學資料上的“錯題”，否則，就會跟著資料錯下去。下面將針對高中數學中的“錯題”教學作用和功能進行分析，指出學生在學習過程中發現錯題的重要性。

一、“錯題”在數學發展中的積極作用

錯題在數學發展史上給數學教學造成了很多阻礙，課堂上的錯題在教學中具有很高的借鑒價值和教學指導作用。數學家遇到的錯題對于其研究具有很好的指導作用，同時也為數學家發現數學新東西提供了研究對象。比如，費馬為了找出素數的表達式，他提出了Fn=22 +1，當n=0，1，2，3，4…時，它們均為素數。于是便提出結論：當n為任何非負整數時，用表達式Fn=22 +1可以表示素數。

對于上述命題，很多數學家都投入過大量研究，表明該題屬于錯誤命題。當n=5時，上式子中的值并不是素數，從而推翻了費馬的猜想。縱觀數學發展史，其實就是從一個“錯題”到另外一個“錯題”的發展歷史，在不斷論證過程中實現數學的教與學，當然也有一些科學家在“錯題”中不斷進步，努力尋求真理，為數學發展做出了突出貢獻。

二、“錯題”在高中數學中的作用

1. 可以加深學生對數學知識的學習和理解

在數學教學過程中，教師可以為學生設置缺漏、創新疑點，通過學生自己鉆研探索和鞏固新知識。從“錯題”教學中，讓學生學會思考問題，積極培養他們的自主學習能力，為其今后的學習和研究打下基礎。

錯題1：已知f（sinx）=sin2x，則f（cosx）等于： （ ）

A. sin2x B. -sin2x C. ±sin2x D. cos2x

針對這個錯題，一個學生使用兩種方法進行解題，最后呈現出不同的答案，由此說明此題為錯題。

解法1：cosx=sin（x+），因此得出f（cosx）=f[sin（x+）]=sin2（x+）=sin（π+2x）=-sin2x。因此結果選B。

解法2：cosx=sin（-x），因此f（cosx）=f[sin（-x）]=sin2（-x）=sin（π-2x）=sin2x，故結果選A。

在教學中發現此類錯誤時，教師就可在課堂上讓學生自己進行研究，結果發現確實存在著兩個不同的答案，很顯然這種題目不正確，經過不同解法取得的結果也應該是一致的。錯題一般都具有一定的隱蔽性，通過學生自己尋找結果，這比教師直接告知結果效果要好。學生通過研究可以加深對題目的記憶和理解，有利于他們在學習過程中不斷開發自己的創新鉆研意識。

2. 可以完善學生的認知

數學教學尤其是新知識教學，教師需要根據學生的學習出錯規律來評估他們的學習知識點在什么位置，在學習中找出薄弱點，通過對“錯題”的分析和研究，使學生在學習過程中實現知識的整合。

錯題2：曲線C：y2-4x2=1，試求斜率為2的直線與曲線C相交軌跡的中點。

假設：與曲線交于A、B兩點，其中A（x1，y1），B（x2，y2），終點為P（x，y）。一些學生解題時，設A、B在曲線C上，因此可以得出關系式子：y1-4x12=1…（1）；y2-4x22=1…（2）；由（1）-（2）得出：y1+y2=4（x1+x2）；從題意來看，直線斜率為2，即k=2；（x1+x2）/2=x；（y1+y2）/2=y。根據計算，得出的相交軌跡為直線y=2x。但是采用另外一種解法則會出現不同的結果。通過列方程組求解，利用根與系數之間的關系，發現斜率為2的支線與C曲線只有一個交點，沒有2個交點，說明此題其實是一個錯題。很多人利用中點弦求解都采用點差法，但卻忽略了一個問題，即對于題目的自身考慮，對于圖形結構認知不到位而出現差錯。

3. 有利于培養學生的質疑精神

學生在求知階段通過發現資料錯誤并進行矯正，可以加深對知識本質屬性的理解，弄清楚一些比較容易混淆的知識點，聯系知識點的本質區別，使學生可以正確理解和掌握知識。很多學生對于高考題深信不疑，認為高考題是不可能出現差錯的，但是實際情況卻并非如此。實踐證明，如果教師能夠根據學生學習的知識，然后結合高考數學中出現的有爭議的“錯題”進行教學，常常會收到意想不到的效果。

例如，錯題3：已知數列Sn的{an}為前n項和，且Sn=（an+1）2，試求{an}的通項公式，并證明數列{an}為等差或者等比數列。當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，可以得出（an-1）2=（an-1+1）2。即可以得出an-an-1=2或者an=-an-1（n≥2）；當an-an-1=2時，數列{an}為等差數列，且公差d=2，由S1=（a1+1）2以及S1=a1，得出a1=1。故，an=2n-1（n∈N*）；當an=-an-1時，數列{an}成等比數列，且公比q=-1，因此得出an=（-1）n-1（n∈N*）。從上述解題來看，仔細一看存在著問題，通過列舉反例：a1=1，a2=-1，a3-a2=2，a4-a3=2，……因此，滿足條件的數列有很多，這道題目屬于錯題，如果讓這道題目變成正確題，就應添加條件：an>0。由此可見，通過錯題可以使學生加深對數列的認識和理解，可以有效診治學生的數學思維頑疾，并增強其綜合運用能力。

“錯題”不僅是數學學習過程中的難點問題，更是遺留給教育學者研究的寶貴財富。高中數學教學中通過“錯題”教學可以有效提升學生的各方面能力，對于整合學生的知識構架具有非常重要的作用。學生發現“錯題”、解決“錯題”不僅是一種學習能力的體現，也是其學習數學之后對于知識的綜合利用。本文針對“錯題”教學的功能研究，分析了其在高中數學教學中的重要作用，以案例方式向讀者呈現高中數學教學“錯題”以及提出解決方案。

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（編輯：朱澤玲）