一道習題的另解及推廣

江蘇省丹陽高級中學 (212300) 史建軍

一道習題的另解及推廣

江蘇省丹陽高級中學 (212300) 史建軍

1.問題的提出

引例1 若A為⊙C:(x+5)2+(y+4)2=25上一點，O為原點，OA=2,求直線OA的方程.

2.問題的解法

解法一思路簡單，但運算比較復雜；解法二思路、運算均很簡潔，但蘇教版初中新教材中沒有介紹平面幾何中的切割線定理，既然是無米之炊，學生只能望洋興嘆.

3.問題的推廣

引例2 若A為⊙O:x2+y2=25上一點，P(5,4),且PA=2,求直線PA的方程.

結論3 已知⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l:Ax+By+C=0(C≠0)相交于兩點，求過交點與P(m,n)的直線方程時，可將⊙M方程變形為(x-m)2+(y-n)2+(D+2m)(x-m) +(E+2n)(y-n)+m(D+m)+n(E+n)+F=0.

結論4 已知二次曲線Ax2+By2+Dx+Ey+F=0與直線l:ax+by+c=0(c≠0)相交于兩點，求過交點與P(m,n)的直線方程時，可將曲線方程變形為A(x-m)2+B(y-n)2+(D+2Am)(x-m)+(E+2Bn)(y-n)+m(D+Am)+n(E+Bn)+F=0.直線l方程變形為a(x-m)+b(y-n)+am+bn+c=0,則所求直線方程為A(x-m)2+B(y-n)2+(D+2Am)(x-m)·

證明：一方面，由結論2的證明可知，(4)式經過P(m,n)及兩曲線的交點；另一方面，⑷式可化為形如：a′(x-m)2+b′(x-m)(y-n)+c′(y-n)2=0的齊次式，由結論2的證明可知，⑷式可表示為兩條直線.

引例3 若⊙C:x2+y2+10x+8y+16=0,直線l:5x+4y+10=0.求過⊙C與直線l的兩個交點及原點且對稱軸平行于坐標軸的橢圓方程.

根據條件選取參數λ1,λ2的值，可使上述方程表示經過兩交點及P(m,n)的直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線.