巧用構造法證明競賽中的不等式

江西省新干中學 (331300) 曾自根

巧用構造法證明競賽中的不等式

江西省新干中學 (331300) 曾自根

不等式的證明方法很多，巧而且靈活，其中構造法是不等式證明中的一種重要方法，即引入適當的恒等式，結合函數、圖形、數列等輔助手段，將命題轉化，變成較為直觀和本質的形式，進而使不等式獲證.本文擷取競賽題中的幾道不等式加以說明.

一、構造恒等式

證明：由海倫公式，有

故結論成立.

評注：恒等式可以看作是最強的不等式，有時候，通過補充不等式中省去的那些項或因式，可以得到隱藏在其背后的恒等式，這樣往往可以找到證題的突破口，因為恒等式的結果是顯然的.

二、構造函數

我們可以根據代數式的特征，構造適當的函數.如一次函數，二次函數再利用函數性質證明不等式.

評注：通過換元，簡化了欲證不等式.利用函數的單調性，以及求函數最值的方法使不等式簡捷獲證.

三、構造圖形

若問題中的數量關系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立關系，那么可以通過作圖構造圖形，然后在圖形中尋找所證的結論.

圖1

證明：由條件，作一個長、寬、高分別為cosα、cosβ、cosγ的長方體ABCD-A1B1C1D1.如圖1所示，AB=cosα，BC=cosβ，BB1=cosγ.則此長方體對角線長恰為1.同時，易見∠ABD1=α，∠CBD1=β，∠B1BD1=γ.

評注：有時可以觀察所證不等式結構和特點，通過構造適當幾何圖形來輔助證明.

四、構造數列

例4 設ai為正實數(i=1，2，…，n),令kbk=a1+a2+…+ak(k=1,2,…n),Cn=(a1-b1)2+(a2-b2)2+…+(an-bn)2，Dn=(a1-bn)2+(a2-bn)2+…+(an-bn)2，求證Cn≤Dn≤2Cn.

又由于x1=2C1-D1=(a1-b1)2=0，故對一切n，xn≥0.

∴yn+1≥yn.

又y1=b1-c1=0，故對一切n∈N+,yn≥0.

綜上所述Cn≤Dn≤2Cn.

評注：在遇到與自然數n有關的命題時，可以考慮構造輔助數列，并利用數列的性質證明與其相關的不等式.